2020版微点教程高三数学（人教版理）一轮复习点对点（课件 学案 课时作业）选修4－4　坐标系与参数方程 (6份打包)

选修4－4 坐标系与参数方程 第一节　坐　标　系 2019考纲考题考情 1．平面直角坐标系中的伸缩变换 设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：的作用下，点P(x，y)对应点P′(x′，y′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换。 2．极坐标的概念 (1)极坐标系： 如图所示，在平面内取一个定点O，叫做极点，从O点引一条射线Ox，叫做极轴，选定一个单位长度和角及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就确定了一个平面极坐标系，简称为极坐标系。 (2)极坐标： 对于平面内任意一点M，用ρ表示线段OM的长，θ表示以Ox为始边、OM为终边的角度，ρ叫做点M的极径，θ叫做点M的极角，有序实数对(ρ，θ)叫做点M的极坐标，记作M(ρ，θ)。 当点M在极点时，它的极径ρ＝0，极角θ可以取任意值。 (3)点与极坐标的关系： 平面内一点的极坐标可以有无数对，当k∈Z时，(ρ，θ)，(ρ，θ＋2kπ)，(－ρ，θ＋(2k＋1)π)表示同一个点，而用平面直角坐标表示点时，每一个点的坐标是唯一的。 如果规定ρ＞0,0≤θ＜2π，或者－π＜θ≤π，那么，除极点外，平面内的点和极坐标就一一对应了。 3．极坐标和直角坐标的互化 (1)互化背景：把平面直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴，建立极坐标系，并在两种坐标系中取相同的单位长度，如图所示。 (2)互化公式：设M是坐标平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)，极坐标是(ρ，θ)(ρ＞0，θ∈[0,2π))，于是极坐标与直角坐标的互化公式如表： 点M 直角坐标(x，y) 极坐标(ρ，θ) 互化 公式 ρ2＝x2＋y2 tanθ＝(x≠0) 在一般情况下，由tanθ确定角时，可根据点M所在的象限取最小正角。 4．常见曲线的极坐标方程 曲线 图形 极坐标方程 圆心在极点， 半径为r的圆 ρ＝r(0≤θ＜2π) 圆心为(r,0)， 半径为r的圆 ρ＝2rcosθ 圆心为， 半径为r的圆 ρ＝2rsinθ(0≤θ＜π) 过极点，倾斜角 为α的直线 ①θ＝α(ρ∈R)或 θ＝π＋α(ρ∈R) ②θ＝α(ρ≥0)和 θ＝π＋α(ρ≥0) 过点(a,0)，与 极轴垂直的直线 ρcosθ＝a 过点，与 极轴平行的直线 ρsinθ＝a(0＜θ＜π) 过点(a,0)， 倾斜角为α 的直线 ρsin(α－θ)＝asinα 1．明辨两个坐标 伸缩变换关系式点(x，y)在原曲线上，点(x′，y′)在变换后的曲线上，因此点(x，y)的坐标满足原来的曲线方程，点(x′，y′)的坐标满足变换后的曲线方程。 2．极坐标方程与直角坐标方程互化 (1)公式代入：直角坐标方程化为极坐标方程公式x＝ρcosθ及y＝ρsinθ直接代入并化简。 (2)整体代换：极坐标方程化为直角坐标方程，变形构造形如ρcosθ，ρsinθ，ρ2的形式，进行整体代换。 一、走进教材 1．(选修4－4P15T4改编)在极坐标系中，圆ρ＝－2sinθ的圆心的极坐标是(　　) A. B. C．(1,0) D．(1，π) 解析　由ρ＝－2sinθ，得ρ2＝－2ρsinθ，化成直角坐标方程为x2＋y2＝－2y，化成标准方程为x2＋(y＋1)2＝1，圆心坐标为(0，－1)，其对应的极坐标为。故选B。 解析：由ρ＝－2sinθ＝2cos，知圆心的极坐标为。故选B。 答案　B 2．(选修4－4P15T3改编)若以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则线段y＝1－x(0≤x≤1)的极坐标方程为(　　) A．ρ＝，0≤θ≤ B．ρ＝，0≤θ≤ C．ρ＝cosθ＋sinθ，0≤θ≤ D．ρ＝cosθ＋sinθ，0≤θ≤ 解析　因为y＝1－x(0≤x≤1)，所以ρsinθ＝ 1－ρcosθ(0≤ρcosθ≤1)，所以ρ＝。故选A。 答案　A 二、走出误区 微提醒：①极坐标与直角坐标的互化致误；②求极坐标方程不会结合图形求解致误。 3．将极坐标化为直角坐标为(　　) A．(0,2) B．(0，－2) C．(2,0) D．(－2,0) 解析　由可知直角坐标为(0，－2)。故选B。 答案　B 4．在极坐标系中，过点且与极轴平行的直线方程是(　　) A．ρ＝0 B．θ＝ C．ρcosθ＝2 D．ρsinθ＝2 解析　极坐标为的点的直角坐标为(0,2)，过该点且与极轴平行的直线的方程为y＝2，其极坐标方程为ρsinθ＝2。故选D。 答案　D 5．在极坐标系中，圆心在(，π)且过极点的圆的方程为________。 解析　如图，O为极点，OB为直径，A(ρ，θ)，则∠ABO＝θ－，OB＝2＝，化简得ρ＝－2cosθ。 答案　ρ＝－2cosθ