专题05 立体几何与空间向量中的最值问题-高考数学最值热点训练【2019原创资源大赛】

高考数学最值热点训练五 立体几何与空间向量中的最值问题 一、选择题 1. 已知，，当取最小值时，的值为 A．19 B． C． D． 2. 已知正方体的棱长为1，在对角线上取点，在上取点，使得线段平行于对角面，则的最小值为 A．1 B． C． D． 3.已知正四面体的棱长为2，为的中点，分别是线段，（含端点）边上的动点，则的最小值为 A． B． C．2 D． 4. 在三棱锥中，已知，，三角形是边长为2的正三角形，则三棱锥的外接球的最小表面积为 A． B． C． D． 5. 已知n元均值不等式为：，其中均为正数，已知球的半径为R，利用n元均值不等式求得球的内接正四棱锥的体积的最大值为 A． B． C． D． 6. 棱长为的正方体中，一平行于平面的平面与棱，，分别交于点，，，点在线段上，且，则三棱锥体积的最大值为 A． B． C． D． 7. 如图所示，用一边长为的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个蛋巢，将体积为的鸡蛋（视为球体）放入其中，蛋巢形状保持不变，则鸡蛋（球体）离蛋巢底面的最短距离为 A． B． C． D． 8. 在一个圆锥内有一个半径为的半球，其底面与圆锥的底面重合，且与圆锥的侧面相切，若该圆锥体积的最小值为，则 A．1 B． C．2 D． 9. 如图，已知四面体为正四面体，分别是中点.若用一个与直线垂直，且与四面体的每一个面都相交的平面去截该四面体，由此得到一个多边形截面，则该多边形截面面积最大值为 A． B． C． D． 10. 已知的三个顶点落在半径为的球的表面上，三角形有一个角为且其对边长为3，球心到所在的平面的距离恰好等于半径的一半，点为球面上任意一点，则三棱锥的体积的最大值为 A． B． C． D． 11. 一圆锥的内部装有一个小球，若小球的体积为，则该圆锥侧面积的最小值是 A． B． C． D． 12.如图，直角梯形，，，，是边中点，沿翻折成四棱锥，则点到平面距离的最大值为 A． B． C． D． 二、填空题 13. 已知矩形的周长为16，矩形绕它的一条边旋转形成一个圆柱的侧面积的最大值为__________． 14.已知三棱锥外接球的表面积为，面，则该三棱锥体积的最大值为____. 15.已知四棱锥的底面ABCD是边长为2的正方形，侧棱平面ABCD，若在四棱锥的内部有一个半径为R的球，则R的最大值为______ 16．如图①，矩形的边，直角三角形的边，，沿把三角形折起，构成四棱锥，使得在平面内的射影落在线段上，如图②，则这个四棱锥的体积的最大值为__________． 三、解答题 17. 如图，直三棱柱中，，，分别为和上的点，且. （1）求证：当时，； （2）当为何值时，三棱锥的体积最小，并求出最小体积. 18.如图，在三棱锥与三棱锥中，和都是边长为2的等边三角形，分别为的中点，，． （1）试在平面内作一条直线，当时，均有平面（作出直线并证明）； （2）求两棱锥体积之和的最大值. 19.如图所示，正方形所在的平面与等腰所在的平面互相垂直，其中顶，，为线段的中点． （1）若是线段上的中点，求证：平面； （2）若是线段上的一个动点，设直线与平面所成角的大小为，求的最大值． 20.如图，在半径为的半圆形（O为圆心）铁皮上截取一块矩形材料ABCD，其中点A、B在直径上，点C、D在圆周上，将所截得的矩形铁皮ABCD卷成一个以AD为母线的圆柱形罐子的侧面（不计剪裁和拼接损耗），记圆柱形罐子的体积为． （1）按下列要求建立函数关系式： ①设，将表示为的函数； ②设（），将表示为的函数； （2）请您选用（1）问中的一个函数关系，求圆柱形罐子的最大体积． 21.已知三棱锥（如图一）的平面展开图（如图二）中，四边形为边长等于的正方形，和均为正三角形，在三棱锥中： （1）证明：平面平面； （2）若点在棱上运动，当直线与平面所成的角最大时，求二面角的余弦值. 图一 图二 22. 如图，在直三棱柱中，分别是棱的中点，点在线段上（包括两个端点）运动． （1）当为线段的中点时， ①求证：；②求平面与平面所成锐二面角的余弦值； （2）求直线与平面所成的角的正弦值的取值范围. 2019资源大赛官网：http://www.zxxk.com/topic/2019/xkwzyds $$ 高考数学最值热点训练五 立体几何与空间向量中的最值问题 一、选择题 1. 已知，，当取最小值时，的值为 A．19 B． C． D． 【答案】C 【解析】，故当时，取得最小值. 2. 已知正方体的棱长为1，在对角线上取点，在上取点，使得线段平行于对角面，