2020届高考数学一轮复习空间向量在立体几何中的应用（理）测试题 (2份打包)

第10单元 空间向量在立体几何中的应用 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．如果平面的一条斜线与它在这个平面上的射影的方向向量分别是，，那么这条斜线与平面所成的角是（ ） A．90° B．30° C．45° D．60° 【答案】D 【解析】∵， 又由题意知，∴．答案D． 2．平面经过三点，，，则平面的法向量可以是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设平面的法向量为， 对于A选项，，故A选项错误；对于B选项，，故B选项错误； 对于C选项，，故C选项错误；对于D选项，由于，， 故D选项符合题意．所以本题选D． 3．若直线的方向向量为，平面的法向量为，则（ ） A． B． C． D．与相交 【答案】C 【解析】∵直线l的方向向量为，平面的法向量为， ∴，∴，∴，故选C． 4．如图，在平行六面体中，为的中点，设，，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据向量的三角形法则得到 ．故选A． 5．在长方体中，，，点为的中点，则异面直线与所成角的正切值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，，， 设异面直线与所成角为， 则，， ，异面直线与所成角正切值为，故选A． 6．正方体中，直线与平面所成角的正弦值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】如图，以点为坐标原点，以，，方向分别为轴，轴，轴， 建立空间直角坐标系， 设棱长2，则，，，， 所以，， 因为在正方体中，，平面，所以， 又，所以平面， 因此向量为平面的一个法向量， 设直线与平面所成的角为， 则．故选A． 7．对于空间任意一点和不共线的三点，，，且有， 则，，是四点共面的（ ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】B 【解析】空间任意一点和不共线的三点，，，且， 则四点共面等价于， 若，，，则，所以四点共面， 若四点共面，则，不能得到，，， 所以，，是四点共面的充分不必要条件，故选B． 8．已知二面角，其中平面的一个法向量，平面的一个法向量，则二面角的大小可能为（ ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【解析】∵，， 设与之间的夹角为，， ，，二面角的大小可能为和． 9．已知在平行六面体中，，，，，，则的长为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】在平行六面体中，，，， ，， ， ， 则，故选D． 10．如图，已知矩形与矩形全等，二面角为直二面角，为中点，与所成角为，且，则（ ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【解析】以A为原点，AF为x轴，AB为y轴，AD为z轴，建立空间直角坐标系， 设AB＝2a，BC＝2b，则F（2b，0，0），M（0，a，0），B（0，2a，0），D（0，0，2b）， （﹣2b，a，0），（0，﹣2a，2b）， ∵FM与BD所成角为θ，且， ∴， 整理得，∴， 解得，或（舍），∴，故选C． 11．在空间直角坐标系中，四面体各顶点坐标分别为，，，则该四面体外接球的表面积是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图，在空间坐标系里画出四个点， 可得面， 因此可以把四面体补成一个长方体，其外接球的半径， 所以外接球的表面积为，故选B项． 12．如图，四边形，，，现将沿折起，当二面角的大小在时，直线和所成角为，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】取BD中点O，连结AO，CO， ∵AB＝BD＝DA＝4．BC＝CD，∴CO⊥BD，AO⊥BD，且CO＝2，AO， ∴∠AOC是二面角的平面角， 以O为原点，OC为x轴，OD为y轴，过点O作平面BCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系， B（0，﹣2，0），C（2，0，0），D（0，2，0）， 设二面角的平面角为θ，则， 连AO、BO，则∠AOC＝θ，， ∴，， 设AB、CD的夹角为α，则， ∵，∴，∴． ∴cos的最大值为．故选C． 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．已知点关于坐标原点的对称点为，关于平面的对称点为，关于轴的对称点为，则线段的中点的坐标为_______． 【答案】 【解析】点关于坐标原点的对称点A1的坐标为，点 关于xOz平面的对称点A2的坐标为，点关于z轴的对称点A3的坐标为，∴线段AA3的中点M的坐标为． 14．在直三棱柱中，，则异面直线与 所成角的余弦值为__________． 【答案】 【解析】因为，所以角为直角， 又直棱柱中，侧棱与底面垂直，所以两两垂直， 以点为坐标原点，以方向分别为轴，轴，轴，建立如