专题06 函数的奇偶性与周期性-2020年领军高考数学一轮复习（文理通用）

2020年领军高考数学一轮复习(文理通用) 专题06函数的奇偶性与周期性 最新考纲 1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义． 2.会运用函数图象理解和研究函数的奇偶性． 3.了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性. 基础知识融会贯通 1．函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数 关于y轴对称 奇函数 一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数 关于原点对称 2.周期性 (1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期． (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期． 【知识拓展】 1．函数奇偶性常用结论 (1)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)． (2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性． (3)在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇． 2．函数周期性常用结论 对f(x)定义域内任一自变量的值x： (1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0)． (2)若f(x＋a)＝，则T＝2a(a>0)． (3)若f(x＋a)＝－，则T＝2a(a>0)． 重点难点突破 【题型一】判断函数的奇偶性 【典型例题】 下列函数中，既是奇函数，又是增函数是（　　） A．f（x）＝x|x| B．f（x）＝﹣x3 C．f（x） D．f（x） 【再练一题】 下列函数中既是奇函数，又在区间[﹣1，1]上单调递减的函数是（　　） A．f（x）＝sinx B．f（x）＝﹣|x+1| C． D． 思维升华 判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件： (1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域； (2)判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系． 在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价关系式f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数)是否成立． 【题型二】函数的周期性及其应用 【典型例题】 已知函数f（x）满足f（0）＝2，且对任意x∈R都满足f（x+3）＝﹣f（x），则f（2019）的值为（　　） A．2019 B．2 C．0 D．﹣2 【再练一题】 定义在R上的函数f（x）满足：f（x+6）＝f（x），当﹣3≤x＜﹣1时，f（x）＝﹣（x+2）2；当﹣1≤x＜3时，f（x）＝x，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2019）＝（　　） A．336 B．337 C．338 D．339 思维升华 函数的周期性反映了函数在整个定义域上的性质．对函数周期性的考查，主要涉及函数周期性的判断，利用函数周期性求值． 【题型三】函数性质的综合应用 命题点1　求函数值或函数解析式 【典型例题】 已知奇函数f（x）（x∈R）满足f（x+4）＝f（x﹣2），且当x∈[﹣3，0）时，，则f（2018）＝（　　） A． B． C． D． 【再练一题】 设偶函数f（x）对任意x∈R，都有f（x+3），且当x∈[﹣3，﹣2]时，f（x）＝4x，则f（107.5）＝（　　） A．10 B． C．﹣10 D． 命题点2　求参数问题 【典型例题】 已知函数f（x）＝lnx，且f（a）+f（a+1）＞0，则a的取值范围为（　　） A．（﹣1，） B．（） C．（） D．（） 【再练一题】 已知，若f（x）＝xa为奇函数，且在（0，+∞）上单调递增，则实数a的取值是（　　） A．﹣1，3 B．，3 C．﹣1，，3 D．，，3 命题点3　利用函数的性质解不等式 【典型例题】 已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且在区间（﹣∞，0]上单调递增，若实数a满足f（），则a的取值范围是（　　） A．（） B．（1，） C．（0，） D．（） 【再练一题】 定义在R上的函数f（x）是奇函数，且在（0，+∞）内是增函数，又f（﹣3）＝0，则f（x）＜0的解集是（　　） A．（﹣3，0）∪（3，+∞） B．（﹣∞，﹣3）∪（0，3） C．（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞） D．（﹣3，0）∪（0，3） 思维升华 (1)关于奇偶性、单调性、周期性的综合性问题，关键是将未知区间上的问题转化为已知区间上的问题． (2)掌握以下两个结论，会给解题带来方便： ①f(x)为偶函数⇔f(x)＝f(|x|)．②若奇函数在x＝0处有意义，则f(