专题03 导数及其应用-备战2020年高考数学（理）之纠错笔记系列

专题03 导数及其应用 易错点1 不能正确识别图象与平均变化率的关系 A，B两机关单位开展节能活动，活动开始后两机关的用电量与时间t(天)的关系如图所示，则一定有 A．两机关单位节能效果一样好 B．A机关单位比B机关单位节能效果好 C．A机关单位的用电量在上的平均变化率比B机关单位的用电量在上的平均变化率大 D．A机关单位与B机关单位自节能以来用电量总是一样大 【错解】选C. 因为在(0，t0)上，的图象比的图象陡峭，所以在(0，t0)上用电量的平均变化率，A机关单位比B机关单位大． 【错因分析】识图时，一定要结合题意弄清图形所反映的量之间的关系，特别是单调性，增长(减少)的快慢等要弄清． 【试题解析】由题可知，A机关单位所对应的图象比较陡峭，B机关单位所对应的图象比较平缓，且用电量在上的平均变化率都小于0，故一定有A机关单位比B机关单位节能效果好．故选B. 【参考答案】B 1．平均变化率 函数从到的平均变化率为，若，，则平均变化率可表示为. 2．瞬时速度 一般地，如果物体的运动规律可以用函数来描述，那么，物体在时刻的瞬时速度v就是物体在到这段时间内，当无限趋近于0时，无限趋近的常数. 1．巍巍泰山为我国的五岳之首，有“天下第一山”之美誉，登泰山在当地有“紧十八，慢十八，不紧不慢又十八”的俗语来形容爬十八盘的感受，下面是一段登山路线图．同样是登山，但是从A处到B处会感觉比较轻松，而从B处到C处会感觉比较吃力．想想看，为什么？你能用数学语言来量化BC段曲线的陡峭程度吗？ 【答案】见解析. 【解析】山路从A到B高度的平均变化率为hAB＝， 山路从B到C高度的平均变化率为hBC＝， ∴hBC>hAB， ∴山路从B到C比从A到B要陡峭的多． 易错点2 求切线时混淆“某点处”和“过某点” 若经过点P(2,8)作曲线的切线，则切线方程为 A． B． C．或 D．或 【错解】设，由定义得f ′(2)=12， ∴所求切线方程为，即. 【错因分析】曲线过点P的切线与在点P处的切线不同．求曲线过点P的切线时，应注意检验点P是否在曲线上，若点P在曲线上，应分P为切点和P不是切点讨论． 【试题解析】①易知P点在曲线上，当P点为切点时，由上面解法知切线方程为. ②当P点不是切点时，设切点为A(x0，y0)，由定义可求得切线的斜率为. ∵A在曲线上，∴，∴，∴， ∴，解得或x0=2(舍去)， ∴，k=3，此时切线方程为y+1=3(x+1)，即. 故经过点P的曲线的切线有两条，方程为或. 【参考答案】D 1．导数的几何意义 函数在处的导数就是曲线在点处的切线的斜率. 2．曲线的切线的求法 若已知曲线过点，求曲线过点P的切线，则需分点P(x0，y0)是切点和不是切点两种情况求解： （1）当点是切点时，切线方程为； （2）当点不是切点时，可分以下几步完成： 第一步：设出切点坐标P′(x1，f (x1))； 第二步：写出过的切线方程为； 第三步：将点P的坐标(x0，y0)代入切线方程求出x1； 第四步：将x1的值代入方程，可得过点的切线方程． 2．已知函数，则 A． B．1 C． D． 【答案】B 【解析】 ， 又因为， 所以， 解得，故选B. 【名师点睛】本题主要考查导数的运算法则以及初等函数的求导公式，意在考查对基础知识的掌握与应用，属于基础题. 在求曲线的切线方程时，要注意区分是求某点处的切线方程，还是求过某点（不在曲线上）的切线方程，前者的切线方程为，其中切点，后者一般先设出切点坐标，再求解. 易错点3 不能准确把握导数公式和运算法则 求下列函数的导数： （1）； （2）. 【错解】（1）； （2）. 【错因分析】（1）求导是对自变量求导，要分清表达式中的自变量.本题中的自变量是x，a是常量；（2）商的求导法则是：分母平方作分母，分子是差的形式，等于分子的导数乘以分母的积减去分母的导数乘以分子的积.本题把分数的导数类同于分数的乘方运算了. 【试题解析】（1）； （2）. 【参考答案】（1）；（2）. 1．导数计算的原则 先化简解析式，使之变成能用八个求导公式求导的函数的和、差、积、商，再求导． 2．导数计算的方法 ①连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导； ②分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导； ③对数形式：先化为和、差的形式，再求导； ④根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导； ⑤三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导； 3．已知，则 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】依题意有，故，所以选D. 【名师点睛】本小题主要考查基本初等函数的导数，考查复合函数的导数计算，考查函数除法的导数计算，属于中档题. 易错点4 区分复