专题04 三角函数-备战2020年高考数学（理）之纠错笔记系列

专题04 三角函数 易错点1 不能正确理解三角函数的定义 角α的终边落在直线y＝2x上，则sinα的值为 A．－ B． C． D．± 【错解】选C. 在角的终边上取点P(1,2)，∴r＝|OP|＝＝，∴sinα＝＝＝，故选C． 【错因分析】当角的终边在一条直线上时，应注意到角的终边为两条射线，所以应分两种情况处理，而错解中没有对两种情况进行讨论导致错误． 【试题解析】当角的终边在第一象限时，在角的终边上取点P(1,2)， 由r＝|OP|＝＝，得sinα＝＝. 当角的终边在第三象限时，在角的终边上取点Q(－1，－2)，∴， ∴sinα＝＝－. 故选D． 【参考答案】D 1．定义 设是一个任意角，它的顶点与原点重合，始边与轴非负半轴重合，点是角的终边上任意一点，到原点的距离，那么角的正弦、余弦、正切分别是． 注意：正切函数的定义域是，正弦函数和余弦函数的定义域都是. 2．三角函数值在各象限内的符号 三角函数值在各象限内的符号口诀：一全正、二正弦、三正切、四余弦． 1．在平面直角坐标系中，角以轴非负半轴为始边，终边在射线上，则的值是 A．2 B．−2 C． D． 【答案】A 【解析】由题意，在平面直角坐标系中，角以轴非负半轴为始边，终边在射线上， 设终边上的点，根据三角函数的定义可得，故选A． 【名师点睛】本题主要考查了三角函数的定义，其中解答中熟记三角函数的定义是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题． 易错点2 利用同角三角函数基本关系式时忽略参数取值 已知cosθ＝t，求sinθ、tanθ的值． 【错解】①当0<t<1时，θ为第一或第四象限角. θ为第一象限角时，sinθ＝＝，tanθ＝＝； θ为第四象限角时，sinθ＝－＝－，tanθ＝＝－. ②当－1<t<0时，θ为第二或第三象限角. θ为第二象限角时，sinθ＝＝，tanθ＝＝； θ为第三象限角时，sinθ＝－＝－，tanθ＝＝－. 综上，，. 【错因分析】上述解法注意到了θ的余弦值含有参数t，根据余弦函数的取值范围对t进行分类讨论，但上述讨论不全面，漏掉了很多情况，如t＝－1，t＝0，t＝1. 【试题解析】①当t＝－1时，sinθ＝0，tanθ＝0； ②当－1<t<0时，θ为第二或第三象限角. 若θ为第二象限角，则sinθ＝，tanθ＝； 若θ为第三象限角，则sinθ＝－，tanθ＝. ③当t＝0时，sinθ＝1，tanθ不存在或sinθ＝－1，tanθ不存在． ④当0<t<1时，θ为第一或第四象限角. 若θ为第一象限角，则sinθ＝，tanθ＝； 若θ为第四象限角，则sinθ＝－，tanθ＝－. ⑤当t＝1时，sinθ＝0，tanθ＝0. 综上得： 【参考答案】见试题解析. 1．①利用可以实现角的正弦、余弦的互化； ②利用可以实现角的弦切互化． 2．同角三角函数基本关系式的变形 （1）平方关系的变形：； （2）商的关系的变形：； （3）． 3．在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号． 2．已知，，则 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】，， ，，，， 又，， 故选A. 【名师点睛】本题考查三角函数中二倍角公式、同角三角函数基本关系式的应用，易错点是忽略角所处的范围，造成符号错误． 易错点3 不能准确运用诱导公式进行化简求值 若sinθ＝，求的值． A． B． C． D． 【错解】选A. 原式＝＋＝－＋＝0. 【错因分析】错解中混淆了诱导公式sin(－θ)＝－cosθ，sin(＋θ)＝－cosθ，cos(π－θ)＝－cosθ，cos(π＋θ)＝－cosθ. 【试题解析】原式＝＋＝＋＝， 因为sinθ＝，所以所求三角函数式的值为. 【参考答案】C 1．应用诱导公式，重点是“函数名称”与“正负号”的正确判断．求任意角的三角函数值的问题，都可以通过诱导公式化为锐角三角函数的求值问题，具体步骤为“负角化正角”→“正角化锐角”→求值． 2．使用诱导公式时一定要注意三角函数值在各象限的符号，特别是在具体题目中出现类似的形式时，需要对k的取值进行分类讨论，从而确定出三角函数值的正负． 3．利用诱导公式化简三角函数式的思路： （1）分析结构特点，选择恰当公式； （2）利用公式化成单角三角函数； （3）整理得最简形式． 利用诱导公式化简三角函数式的要求： （1）化简过程是恒等变形； （2）结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值． 4．巧用相关角的关系能简化解题的过程． 常见的互余关系有与，与，与等； 常见的互补关系有与，与等. 3．若角的终边经过点，则 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由诱导公式可得， 又角的终边经过点， 所以， 所以．故选C． 要作出