3.1.2 第2课时指数函数及其性质的应用（课件+word）-【创新设计】2019版同步课堂讲义数学（人教B版必修1）

第2课时　指数函数及其性质的应用 [学习目标]　1.理解指数函数的单调性与底数的关系.2.能运用指数函数的单调性解决一些问题. [知识链接] 1.函数y＝ax(a＞0且a≠1)恒过点(0,1)，当a＞1时，单调递增，当0＜a＜1时，单调递减. 2.复合函数y＝f(g(x))的单调性：当y＝f(x)与u＝g(x)有相同的单调性时，函数y＝f(g(x))单调递增，当y＝f(x)与u＝g(x)的单调性相反时，y＝f(g(x))单调递减，简称为同增异减. [预习导引] 1.函数y＝ax与y＝a－x(a＞0，且a≠1)的图象关于y轴对称. 2.形如y＝af(x)(a＞0，且a≠1)函数的性质 (1)函数y＝af(x)与函数y＝f(x)有相同的定义域. (2)当a＞1时，函数y＝af(x)与y＝f(x)具有相同的单调性；当0＜a＜1时，函数y＝af(x)与函数y＝f(x)的单调性相反. 3.形如y＝kax(k∈R，且k≠0，a＞0且a≠1)的函数是一种指数型函数，这是一种非常有用的函数模型.[来源:Z*xx*k.Com] 4.设原有量为N，每次的增长率为p，经过x次增长，该量增长到y，则y＝N(1＋p)x(x∈N). 要点一　利用指数函数的单调性比较大小 例1　比较下列各组数的大小： (1)1.9－π与1.9－3；(2)与0.70.3； (3)0.60.4与0.40.6. 解　(1)由于指数函数y＝1.9x在R上单调递增，而－π＜－3，所以1.9－π＜1.9－3. (2)因为函数y＝0.7x在R上单调递减，而2－≈0.2679＜0.3，所以＞0.70.3. (3)因为y＝0.6x在R上单调递减，所以0.60.4＞0.60.6；又在y轴右侧，函数y＝0.6x的图象在y＝0.4x的图象的上方，所以0.60.6＞0.40.6，所以0.60.4＞0.40.6. 规律方法　1.对于底数相同但指数不同的两个幂的大小的比较，可以利用指数函数的单调性来判断.[来源:Zxxk.Com] 2.比较幂值，若底数不相同，则首先考虑能否化为同底数，然后根据指数函数的性质得出结果；不能化成同底数的，要考虑引进第三个数(如0或1等)分别与之比较，借助中间值比较. 跟踪演练1　已知a＝0.80.7，b＝0.80.9，c＝1.20.8，则a，b，c的大小关系是(　　) A.a＞b＞c B.b＞a＞c C.c＞b＞a D.c＞a＞b 答案　D 解析　因为函数y＝0.8x在R上单调递减，而0.7＜0.9，所以1＞0.80.7＞0.80.9，又因为1.2＞1,0.8＞0，所以1.20.8＞1，故1.20.8＞0.80.7＞0.80.9，即c＞a＞b. 要点二　指数型函数的单调性 例2　判断f(x)＝的单调性，并求其值域. 解　令u＝x2－2x，则原函数变为y＝u. ∵u＝x2－2x＝(x－1)2－1在(－∞，1]上递减，在[1，＋∞)上递增，又∵y＝u在(－∞，＋∞)上递减， ∴y＝在(－∞，1]上递增，在[1，＋∞)上递减. ∵u＝x2－2x＝(x－1)2－1≥－1， ∴y＝u，u∈[－1，＋∞)，∴0＜u≤－1＝3，∴原函数的值域为(0,3]. 规律方法　1.关于指数型函数y＝af(x)(a＞0，且a≠1)的单调性由两点决定，一是底数a的大小；二是f(x)的单调性，它由两个函数y＝au，u＝f(x)复合而成. 2.求复合函数的单调区间，首先求出函数的定义域，然后把函数分解成y＝f(u)，u＝φ(x)，通过考查f(u)和φ(x)的单调性，求出y＝f[φ(x)]的单调性. 跟踪演练2　求函数y＝的单调区间. 解　函数y＝的定义域是R.令u＝－x2＋2x＝－(x－1)2＋1，则y＝2u.当x∈(－∞，1]时，函数u＝－x2＋2x为增函数，函数y＝2u是增函数，所以函数y＝在(－∞，1]上是增函数. 当x∈[1，＋∞)时，函数u＝－x2＋2x为减函数，函数y＝2u是增函数，所以函数y＝在[1，＋∞)上是减函数. 综上，函数y＝的单调增区间是(－∞，1]，单调减区间是[1，＋∞). 要点三　指数函数的综合应用 例3　已知函数f(x)＝. (1)证明f(x)为奇函数. (2)判断f(x)的单调性，并用定义加以证明. (3)求f(x)的值域. (1)证明　由题知f(x)的定义域为R， f(－x)＝＝ ＝＝－f(x)， 所以f(x)为奇函数. (2)解　f(x)在定义域上是增函数.证明如下： 任取x1，x2∈R，且x1＜x2， f(x2)－f(x1)＝－ ＝(1－)－(1－) ＝.[来源:学+科+网Z+X+X+K] ∵x1＜x2，∴3－3＞0,3＋1＞0，3＋1＞0， ∴f(x2)－f(x1)>0，即f(x2)＞f(x1)， ∴f(x)为R上的增函数. (3)解　f(x)＝＝1－， ∵