2.2.2 二次函数的性质与图象（课件+word）-【创新设计】2019版同步课堂讲义数学（人教B版必修1）

2.2.2　二次函数的性质与图象 [学习目标]　1.会用“描点法”作出y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象.2.通过图象研究二次函数的性质.3.掌握研究二次函数常用的方法——配方法.4.会求二次函数在闭区间上的最值(值域). [知识链接] 函数y＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，它的顶点坐标为(1,1)，对称轴为直线x＝1，单调递增区间为(1，＋∞)，单调递减区间为(－∞，1). [预习导引] 1.二次函数 (1)定义： 函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)叫做二次函数. (2)解析式： ①一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0). ②顶点式：y＝a(x－h)2＋k，其中(h，k)为顶点. ③两根式：y＝a(x－x1)(x－x2)，其中x1，x2为方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根. 2.二次函数的性质与图象 函数 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0) 图象 a＞0 a＜0 性质 抛物线开口向上 抛物线开口向下 对称轴是x＝－[来源:学科网] 对称轴是x＝－ 在区间(－∞，－]上是减函数， 在区间[－，＋∞)上是增函数 在区间(－∞，－]上是增函数， 在区间[－，＋∞)上是减函数[来源:学+科+网Z+X+X+K] 当x＝－时，y有最小值，ymin＝ 当x＝－时，y有最大值，ymax＝ b＝0时为偶函数，b≠0时为非奇非偶函数 解决学生疑难点 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 要点一　二次函数的图象与应用 例1　画出函数f(x)＝－x2＋2x＋3的图象，并根据图象回答下列问题： (1)比较f(0)，f(1)，f(3)的大小； (2)若x1＜x2＜1，比较f(x1)与f(x2)的大小； (3)由图象判断x为何值时，y＞0，y＝0，y＜0. 解　f(x)＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4的图象如图所示. (1)由图可知，二次函数f(x)的图象对称轴为x＝1且开口向下，且|0－1|＜|3－1|，故f(1)＞f(0)＞f(3). (2)∵x1＜x2＜1， ∴|x1－1|＞|x2－1|， ∴f(x1)＜f(x2). (3)由图可知： 当x＞3或x＜－1时，y＜0； 当x＝－1或x＝3时，y＝0； 当－1＜x＜3时，y＞0. 规律方法　观察图象主要是把握其本质特征：开口方向决定a的符号，在y轴上的交点决定c的符号(值)，对称轴的位置决定－的符号.另外，还要注意与x轴的交点，函数的单调性等，从而解决其他问题. 跟踪演练1　已知二次函数y＝2x2－4x－6. (1)画出该函数的图象，并指明此函数图象的开口方向，对称轴及顶点坐标； (2)由图象判断x为何值时，y＞0，y＝0，y＜0. 解　(1)由y＝2x2－4x－6＝2(x－1)2－8， 图象如图 由图象可知，函数图象开口向上， 对称轴是直线x＝1，顶点坐标是(1，－8). (2)由图象可知，x＞3，或x＜－1时，y＞0； x＝－1或x＝3时，y＝0；－1＜x＜3时，y＜0. 要点二　二次函数性质及应用 例2　已知函数f(x)＝x|x－2|. (1)画出函数y＝f(x)的图象； (2)写出f(x)的单调区间，并指出在各个区间上是增函数还是减函数？(不必证明) (3)已知f(x)＝，求x的值. 解　(1)f(x)＝x|x－2|＝ 作图如下： (2)单调递增区间(－∞，1]，[2，＋∞)； 单调递减区间(1,2)， (3)∵f(x)＝，∴当x≥2时，x2－2x＝， ∴x＝1＋或x＝1－(舍去)， 当x＜2时，－x2＋2x＝， ∴x＝1±， ∴x的值为1±，1＋. 规律方法　二次函数的图象及性质是解决二次函数问题最基本的知识，注意数形结合寻找解题思路. 跟踪演练2　若函数f(x)＝(a－2)x2＋2x－4的图象恒在x轴下方，则a的取值范围是________. 答案　(－∞，) 解析　由题意知，二次函数开口向下且与x轴无交点. 即解得a＜. 要点三　二次函数最值问题 例3　(1)当－2≤x≤2时，求函数y＝x2－2x－3的最大值和最小值. (2)当1≤x≤2时，求函数y＝－x2－x＋1的最大值和最小值. (3)当x≥0时，求函数y＝－x(2－x)的取值范围. 解　(1)作出函数的图象，如图(1). 当x＝1时，ymin＝－4； 当x＝－2时，ymax＝5. (2)作出函数的图象如图(2). 当x＝1时，ymax＝－1； 当x＝2时，ymin＝－5. (3)作出函数y＝－x(2－x)＝x2－2x在x≥0时的图象，如图(3). 可以看出：当x＝1时，ymin＝－1，无最大值. 所以，当x≥0时，函数的取值范围是{y|y≥－1}. 规律方法　求二次函