2.2.3 待定系数法（课件+word）-【创新设计】2019版同步课堂讲义数学（人教B版必修1）

2.2.3　待定系数法 [学习目标]　1.了解待定系数法的概念，会用待定系数法求函数的解析式.2.掌握待定系数法的特征及应用. [预习导引] 1.待定系数法：一般地，在求一个函数时，如果知道这个函数的一般形式，可先把所求函数写为一般形式，其中系数待定，然后再根据题设条件求出这些待定系数.这种通过求待定系数来确定变量之间关系式的方法叫做待定系数法. 2.正比例函数的一般形式为y＝kx(k≠0)，反比例函数的一般形式为y＝(k≠0)，一次函数的一般形式为y＝kx＋b(k≠0)，二次函数的一般形式为y＝ax2＋bx＋c(a≠0). 要点一　求一次函数的解析式 例1　设一次函数f(x)满足f[f(x)]＝4x＋9，求f(x)的解析式. 解　设f(x)＝ax＋b(a≠0)， 则f[f(x)]＝a·f(x)＋b＝a(ax＋b)＋b ＝a2x＋ab＋b. 由f[f(x)]＝4x＋9，得a2x＋ab＋b＝4x＋9， ∴解得或 ∴f(x)＝2x＋3或f(x)＝－2x－9. 规律方法　设出一次函数解析式，由等量关系列式求解. 跟踪演练1　已知f(x)是一次函数，且满足3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，求f(x). 解　设f(x)＝ax＋b(a≠0)， 则有3f(x＋1)－2f(x－1) ＝3ax＋3a＋3b－2ax＋2a－2b ＝ax＋5a＋b＝2x＋17， 则 ∴a＝2，b＝7，即f(x)＝2x＋7. 要点二　求二次函数的解析式 例2　已知二次函数y＝f(x)的图象过A(0，－5)，B(5,0)两点，它的对称轴为直线x＝2，求这个二次函数的解析式. 解　方法一　设二次函数为f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)， 由题意得 解得 ∴所求函数解析式为f(x)＝x2－4x－5. 方法二　设二次函数f(x)＝a(x－2)2＋k(a≠0)， 将(0，－5)，(5,0)， 代入上式得 解得 ∴所求函数的解析式为f(x)＝(x－2)2－9， 即f(x)＝x2－4x－5. 方法三　∵二次函数过点(5,0)，且对称轴为x＝2， ∴二次函数与x轴另一交点为(－1,0)， 设二次函数为f(x)＝a(x－5)(x＋1)(a≠0)， 将(0，－5)代入得a＝1， ∴f(x)＝x2－4x－5. 规律方法　用待定系数法求二次函数解析式时，要注意其设法的多样性，由条件选择适当的形式. 跟踪演练2　求满足下列条件的二次函数的解析式. (1)已知二次函数的图象经过A(3,0)，B(0，－3)，C(－2,5)三点； (2)已知顶点坐标为(4,2)，点(2,0)在函数图象上； (3)已知y＝x2－4x＋h的顶点A在直线y＝－4x－1上. 解　(1)设所求函数为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，其中a，b，c待定. 根据已知条件得 解得 因此所求函数为y＝x2－2x－3. (2)设所求函数y＝a(x－4)2＋2(a≠0)，其中a待定. 根据已知条件得a(2－4)2＋2＝0，解得a＝－， 因此所求函数为y＝－(x－4)2＋2＝－x2＋4x－6. (3)∵y＝x2－4x＋h＝(x－2)2＋h－4， ∴顶点A(2，h－4)， 由已知得(－4)×2－1＝h－4，h＝－5， ∴所求函数为y＝x2－4x－5. 要点三　待定系数法的综合应用 例3　如图，函数的图象由两条射线及抛物线的一部分组成，求函数的解析式，并求该函数的值域.[来源:学科网] 解　设左侧的射线对应的解析式为 y＝kx＋b(k≠0，x≤1)， 因为点(1,1)，(0,2)在此射线上，故 解得k＝－1，b＝2， 所以左侧射线对应的函数的解析式为 y＝－x＋2(x<1)， 同理可求x≥3时，函数的解析式为y＝x－2(x>3). 当1≤x≤3时，抛物线对应的函数为二次函数. 设其方程为y＝a(x－2)2＋2(1≤x≤3，a＜0)， 由点(1,1)在抛物线上可知a＋2＝1，所以a＝－1， 所以抛物线对应的函数解析式为 y＝－x2＋4x－2(1≤x≤3).[来源:Z|xx|k.Com] 综上，函数的解析式为 y＝ 由图象可知函数的最小值为1，无最大值， 所以，值域为[1，＋∞). 规律方法　由函数图象求函数的解析式，关键在于观察函数图象的形状，分析图象由哪几种函数组成，然后根据不同区间上的函数类型，利用待定系数法求出相应解析式. 跟踪演练3　已知f(x)是定义在[－6,6]上的奇函数，且f(x)在[－3,3]上是一次函数，在[3,6]上是二次函数，f(6)＝2，又当3≤x≤6时，f(x)≤f(5)＝3， 求f(x)的解析式.[来源:Z|xx|k.Com] 解　因为f(x)在[3,6]上是二次函数，f(x)≤f(5)＝3， 则(5,3)为抛物线的顶点， 所以设f(x)＝a(x－5)2＋3(a≠0)， 又因为f(6)＝2，代入