2.4.1 函数的零点（课件+word）-【创新设计】2019版同步课堂讲义数学（人教B版必修1）

2.4　函数与方程 2.4.1　函数的零点 [学习目标]　1.理解函数零点的概念.2.会求一次函数、二次函数的零点.3.初步了解函数的零点、方程的根、函数图象与x轴交点的横坐标之间的关系. [知识链接] 考查下列一元二次方程与对应的二次函数： (1)方程x2－2x－3＝0与函数y＝x2－2x－3； (2)方程x2－2x＋1＝0与函数y＝x2－2x＋1； (3)方程x2－2x＋3＝0与函数y＝x2－2x＋3. 请列表表示出方程的根，函数的图象及图象与x轴交点的坐标. 答案　 方程 x2－2x－3＝0 x2－2x＋1＝0 x2－2x＋3＝0 函数 y＝x2－2x－3 y＝x2－2x＋1 y＝x2－2x＋3 函数的图象 方程的实数根 x1＝－1，x2＝3 x1＝x2＝1 无实数根 函数的图象与x轴的交点 (－1,0)，(3,0) (1,0) 无交点 [预习导引] 1.函数的零点 (1)定义：一般地，如果函数y＝f(x)在实数α处的值等于零，即f(α)＝0，则α叫做这个函数的零点. (2)性质 ①当函数图象通过零点且穿过x轴时，函数值变号. ②两个零点把x轴分为三个区间，在每个区间上所有函数值保持同号. 2.二次函数零点与二次方程实根个数的关系 判别式 y＝ax2＋bx＋c(a≠0) ax2＋bx＋c＝0(a≠0) Δ＞0 两个零点： x＝ 两不等实根： x＝ Δ＝0 一个二重零点： x＝－ 两相等实根： x＝－ Δ＜0 无零点 无实根 要点一　求函数的零点 例1　求下列函数的零点： (1)f(x)＝－x2－2x＋3； (2)f(x)＝x4－1. 解　(1)∵f(x)＝－x2－2x＋3＝－(x＋3)(x－1)， ∴方程－x2－2x＋3＝0的两根分别是－3和1. 故函数的零点是－3,1. (2)∵f(x)＝x4－1＝(x2＋1)(x＋1)(x－1)， ∴方程x4－1＝0的实数根是－1和1. ∴函数的零点为±1. 规律方法　函数零点的求法： (1)代数法：求方程f(x)＝0的实数根； (2)几何法：对于不能用求根公式的方程f(x)＝0，可以将它与函数y＝f(x)的图象联系起来，图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点. 跟踪演练1　求函数y＝(ax－1)(x＋2)的零点. 解　(1)当a＝0时，令y＝0得x＝－2； (2)当a≠0时，令y＝0得，x＝或x＝－2. ①当a＝－时，函数的零点为－2； ②当a≠－时，函数的零点为，－2. 综上所述：(1)当a＝0或－时，零点为－2； (2)当a≠0且a≠－时，零点为，－2. 要点二　函数零点个数的判断 例2　若函数f(x)＝ax2－x－1仅有一个零点，求实数a的取值范围. 解　①若a＝0，则f(x)＝－x－1为一次函数，易知函数仅有一个零点； ②若a≠0，则函数f(x)为二次函数，若其只有一个零点，则方程ax2－x－1＝0仅有一个实数根(也可说成有两个相等的实数根)， 故判别式Δ＝1＋4a＝0，a＝－. 综上，当a＝0或a＝－时，函数仅有一个零点. 规律方法　判断或求形如函数y＝ax2＋bx＋c的零点时，首先对a分a≠0和a＝0两种情况讨论，然后对a≠0的情况，利用判别式法判别相应一元二次方程根的情况，即可判断函数零点的情况. 跟踪演练2　判断下列函数的零点个数： (1)f(x)＝x2－7x＋12； (2)f(x)＝x2－. 解　(1)由f(x)＝0即x2－7x＋12＝0， 得Δ＝49－4×12＝1＞0， ∴方程x2－7x＋12＝0有两个不等的实数根. ∴函数f(x)有两个零点. (2)方法一　由x2－＝0得x2＝， 令h(x)＝x2(x≠0)，g(x)＝， 在同一坐标系中画出h(x)和g(x)的图象知两图象只有一个交点， 故函数有一个零点. 方法二　令f(x)＝0得x2－＝0 即x3－1＝0(x≠0)， ∴x＝1，即方程只有一个根. ∴函数有一个零点. 要点三　函数零点性质的应用 例3　已知关于x的二次方程ax2－2(a＋1)x＋a－1＝0有两个根，且一个根大于2，另一个根小于2，试求实数a的取值范围. 解　令f(x)＝ax2－2(a＋1)x＋a－1，依题意知，函数f(x)有两个零点，且一个零点大于2，一个零点小于2. ∴f(x)的大致图象如图所示： [来源:Z+xx+k.Com] 则a应满足或 即 或 解得0＜a＜5， ∴a的取值范围为(0,5).[来源:学.科.网] 规律方法　解决此类问题可设出方程对应的函数，根据函数的零点所在的区间分析区间端点函数值的符号，建立不等式，使问题得解.当函数解析式中含有参数时，要注意分类讨论. 跟踪演练3　已知关于x的二次方程x2＋2mx＋2m＋1＝0.若方程有两根，其中一根在区间(－1