2.4.2 求函数零点近似解的一种计算方法之一——二分法（课件+word）-【创新设计】2019版同步课堂讲义数学（人教B版必修1）

2.4.2　求函数零点近似解的一种计算方法——二分法 [学习目标]　1.了解函数变号零点与不变号零点的概念，会判断函数变号零点的存在.2.会用二分法求函数变号零点的近似值，并能对二分法的过程作出程序化的步骤. [知识链接] 现有一款手机，目前知道它的价格在500～1000元之间，你能在最短的时间内猜出与它最近的价格吗？(误差不超过20元)，猜价格方案：(1)随机；(2)每次增加20元；(3)每次取价格范围内的中间价，采取哪一种方案好呢？ [预习导引] 1.二分法的概念 对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)f(b)＜0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近为零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.由函数的零点与相应的方程根的关系，可用二分法来求方程的近似解. 2.用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤 (1)在D内取一个闭区间[a0，b0]⊆D，使f(a0)与f(b0)异号，即f(a0)·f(b0)<0.零点位于区间[a0，b0]中. (2)取区间[a0，b0]的中点(如图)，则此中点对应的坐标为x0＝a0＋(b0－a0)＝(a0＋b0). 计算f(x0)和f(a0)，并判断： ①如果f(x0)＝0，则x0就是f(x)的零点，计算终止； ②如果f(a0)·f(x0)<0，则零点位于区间[a0，x0]中，令a1＝a0，b1＝x0； ③如果f(a0)·f(x0)>0，则零点位于区间[x0，b0]中，令a1＝x0，b1＝b0. (3)取区间[a1，b1]的中点，则此中点对应的坐标为x1＝a1＋(b1－a1)＝(a1＋b1). 计算f(x1)和f(a1)，并判断： ①如果f(x1)＝0，则x1就是f(x)的零点，计算终止； ②如果f(a1)·f(x1)<0，则零点位于区间[a1，x1]上，令a2＝a1，b2＝x1； ③如果f(a1)·f(x1)>0，则零点位于区间[x1，b1]上，令a2＝x1，b2＝b1. (4)继续实施上述步骤，直到区间[an，bn]，函数的零点总位于区间[an，bn]上，当an和bn按照给定的精确度所取的近似值相同时，这个相同的近似值就是函数y＝f(x)的近似零点，计算终止.这时函数y＝f(x)的近似零点满足给定的精确度. 要点一　函数零点类型的判断 例1　判断下列函数是否有变号零点； (1)y＝x2－5x－14；(2)y＝x2＋x＋1； (3)y＝4x2＋4x＋1. 解　(1)∵y＝x2－5x－14＝(x＋2)(x－7)， ∴有两个零点－2,7. 由二次函数的图象知，－2,7都是变号零点. (2)∵y＝x2＋x＋1＝(x＋)2＋＞0恒成立， ∴此函数没有零点. (3)∵y＝4x2＋4x＋1＝(2x＋1)2， ∴有一个零点－，但它是不变号零点. 规律方法　函数的零点分为变号零点和不变号零点，若函数零点左右两侧函数值符号相反，则此零点为函数的变号零点；从图象来看，若图象穿过x轴，则此零点为变号零点，否则为不变号零点.二分法只能求函数的变号零点. 跟踪演练1　已知函数y＝f(x)的图象如图所示.下列结论正确的序号是(　　) ①该函数有三个变号零点； ②所有零点之和为0； ③当x＜－时，恰有一个零点； ④当0＜x＜1时，恰有一个零点. A.①② B.①②④ C.②③ D.①②③ 答案　D 解析　函数y＝f(x)的三个变号零点分别是－1,0,1.所以①②③正确. 要点二　二分法求函数零点近似解 例2　求函数f(x)＝x3＋2x2－3x－6的一个为正数的零点(精确到0.1). 解　由于f(1)＝－6＜0，f(2)＝4＞0，可取区间[1,2]作为计算的初始区间. 用二分法逐次计算，列表如下： 端点或中点横坐标 计算端点或中点的函数值 定区间 a0＝1，b0＝2 f(1)＝－6，f(2)＝4 [1,2] x1＝＝1.5 f(x1)＝－2.625＜0 [1.5,2] x2＝＝1.75 f(x2)≈0.2344＞0 [1.5,1.75] x3＝ ＝1.625 f(x3)≈－1.3027＜0 [1.625， 1.75] x4＝ ＝1.6875 f(x4)≈－0.5618＜0[来源:Z§xx§k.Com] [1.6875， 1.75] x5＝ ＝1.71875 f(x5)≈－0.171＜0 [1.71875， 1.75] x6＝ ＝1.734375 f(x6)≈0.03＞0 [1.71875， 1.734375] 至此可以看出，区间[1.718 75,1.734 375]内的所有值精确到0.1都为1.7，所以1.7就是所求函数零点精确到0.1的实数解，即为函数的一个正数零点. 规律方法　1.在选择区间[a，b]时要使其长度尽