2020年高考文科数学《导数的综合应用》 (共2份打包)

2020年高考文科数学《导数的定义与基础应用》题型归纳与训练 【题型归纳】 题型一 对导数定义的理解与考查 例1、如图，直线和圆，当从开始在平面上绕点O匀速旋转（旋转角度不超过90o）时，它扫过的圆内阴影部分的面积是时间的函数，它的图像大致是（ ）。 【答案】D 【解析】在直线旋转的过程中，可以发现面积的平均变化率是先增大后减小，但是始终都是正数，即面积是时间的增函数，且增幅是先快再慢。选D. 【易错点】不能把实际问题与导数的定义联系起来 【思维点拨】深刻理解导数的定义--导数反映函数在点处变化的快慢程度.理解导数的几何意义，即在某点处的导数值为该点处切线的斜率。 题型二 求切线方程 例2、曲线的方程为，求此曲线在点处的切线的斜率，以及切线的方程. 【答案】 【解析】利用导数的几何意义，曲线在点处的切线的斜率等于函数在处的导数值，再利用直线的点斜式方程写出切线方程. 由得，所以曲线在点处的切线斜率为， 过点P的切线方程为，即. 【易错点】不能根据曲线的方程起初切线的斜率 【思维点拨】曲线在某点处的切线斜率，即在该点处导函数的函数值 题型三 单调性问题 例3、已知在R上是减函数，则的取值范围 . 【答案】 【解析】函数的导数： 由已知得在R上恒成立. 当时，，显然在R上不是恒成立； 当时，有解得. 综上，所求的取值范围是 【易错点】丢掉a=0的情况 【思维点拨】对参数问题，务必保持警惕，不要因为“潜在假设”而失误 题型四 极值问题 例4．求函数的极值. 【答案】时，有极大值，并且极大值为；当时，有极小值，并且极小值为. 【解析】(1) . 令，解得：或. 当变化时，，的变化情况如下表： (-∞，-1) -1 (-1，1) 1 (1,+∞) + 0 - 0 + ↗ 5 ↘ 1 ↗ 因此，时，有极大值，并且极大值为；当时，有极小值，并且极小值为. 【易错点】极值是指的函数值，而非自变量x的值，定义要清楚 【思维点拨】用导数求函数极值的步骤 （1）求； （2）求出方程所有的根； （3）对于在函数定义域内的根，逐个进行检验：（建议列表） ①如果在根附近的左侧，右侧，那么是极大值； ②如果在附近的左侧，右侧，那么是极小值． （4）应当指出的是，有些函数在某些点处的导数不存在，这些点需要单独验证是否是极值点.例如，在处的导数不存在，但是函数的极值点. 题型五 最值问题 例5．求函数在区间上的最大值和最小值. 【答案】函数在区间上的最大值为，最小值为. 【解析】(1) . 令，解得：或. 当变化时，的变化情况如下表： -3 (-3,-2) -2 (-2，2) 2 (2,4) 4 + 0 - 0 + 7 ↗ ↘ ↗ 因此，函数在区间上的最大值为，最小值为. 【易错点】不知道去计算、去比较哪些函数值 【思维点拨】求函数在闭区间上的最值的步骤： （1）求函数在开区间)内的极值； （2）将函数的各极值与和比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． 【巩固训练】 题型一 对导数定义的理解与考查 1. 3.如果质点A按规律s=2t3运动，则在t=3 s时的瞬时速度为 A.6 B.18 C.54 D.81 【答案】C 【解析】∵s′=6t2，∴s′|t=3=54. 2．若，则等于 （ ） A. －2 B. －4 C. 2 D. 0 【答案】B 【解析】 ∵，∴，∴，∴ ，∴ ，故选B 3. (如图所示）函数在点P处的切线方程是，则= 【答案】2 【解析】 因为函数在点P处的切线方程是，所以，所以=2.考 题型二 求切线方程 1.求曲线经过点的切线方程. 【答案】见解析 【解析】本题要分点是切点和不是切点两类进行求解. 由得，所以曲线在点处切线的斜率为 若点是切点，则，于是切线方程为，即； 若点不是切点，则切线率，解之得，所以，所以切线方程是，即. 2. 设曲线y＝ex在点(0，1)处的切线与曲线y＝(x＞0)上点P处的切线垂直，则P的坐标为________． 【答案】（1,1） 【解析】∵(ex)′＝e0＝1，设P(x0，y0)，有′＝－＝－1，又∵x0＞0，∴x0＝1，故P的坐标为(1，1)． 3．设函数，曲线在点处的切线方程为， （1）求，的值； （2）求的单调区间. 【答案】略 【解析】（1）因为，所以 依题