2.2.2 二次函数的性质与图象（课件+word）-【步步高】2019版学案导学与随堂笔记数学（人教B版必修1）新课标

2.2.2　二次函数的性质与图象 学习目标　1.掌握二次函数的概念，能用“描点法”作二次函数的图象.2.掌握二次函数解析式的基本形式，会求二次函数图象的对称轴及顶点坐标.3.会根据图象研究二次函数的性质.4.会求二次函数在给定区间上的最值． 知识点一　二次函数的概念 思考　结合一次函数的特征，请给出二次函数的定义、定义域？ 答案　函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)叫做二次函数，定义域为R. 梳理　1.二次函数的定义 函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)叫做二次函数，定义域为R. 2．二次函数的解析式 (1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)． (2)顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)，其中(h，k)为顶点． (3)两根式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，其中x1，x2为方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根． 知识点二　二次函数的图象与性质 思考1　二次函数的图象是一条抛物线，那么哪一个量影响图象的开口方向？ 答案　x2的系数a影响开口方向． 思考2　二次函数的图象是轴对称图形，那么对称轴的位置与哪些量有关？对称轴方程是什么？ 答案　对称轴的位置与a，b两个量有关． 对称轴为x＝－. 梳理　二次函数的性质与图象 a＞0 a＜0 图象 图象特点 对称轴：x＝－ 顶点： 定义域 R 值域 奇偶性 当b＝0时为偶函数，当b≠0时为非奇非偶函数 单调性 为减区间， 为增区间 为增区间，为减区间 最值 抛物线有最低点，当x＝－时，y有最小值ymin＝ 抛物线有最高点，当x＝－时，y有最大值ymax＝ 1．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，x∈[a，b]的最值一定是.(　×　) 2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，x∈R，不可能是偶函数．(　×　) 3．在y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，a决定了图象的开口方向和在同一平面直角坐标系中的开口大小．(　√　) 类型一　二次函数的图象 例1　画出函数f(x)＝－x2＋2x＋3的图象，并根据图象回答下列问题： (1)比较f(0)，f(1)，f(3)的大小； (2)若x1＜x2＜1，比较f(x1)与f(x2)的大小； (3)由图象判断x为何值时，f(x)＞0，f(x)＝0，f(x)＜0. 解　f(x)＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4的图象如图所示． (1)由图可知，二次函数f(x)的图象对称轴为x＝1且开口向下，且|0－1|＜|3－1|，故f(1)＞f(0)＞f(3)． (2)∵x1＜x2＜1， ∴|x1－1|＞|x2－1|， ∴f(x1)＜f(x2)． (3)由图可知： 当x＞3或x＜－1时，f(x)＜0； 当x＝－1或x＝3时，f(x)＝0； 当－1＜x＜3时，f(x)＞0. 反思与感悟　(1)观察图象主要是把握其本质特征：开口方向决定a的符号，在y轴上的交点决定c的符号(值)，对称轴的位置决定－的符号．另外，还要注意与x轴的交点，函数的单调性等，从而解决其他问题． (2)比较二次函数函数值的大小的方法 ①若抛物线开口向上，则离对称轴越近，函数值越小． ②若抛物线开口向下，则离对称轴越近，函数值越大． 跟踪训练1　已知二次函数y＝2x2－4x－6. (1)画出该函数的图象，并指明此函数图象的开口方向，对称轴及顶点坐标； (2)由图象判断x为何值时，y＞0，y＝0，y＜0.[来源:学科网] 解　(1)由y＝2x2－4x－6＝2(x－1)2－8， 图象如图： 由图象可知，函数图象开口向上， 对称轴是直线x＝1，顶点坐标是(1，－8)． (2)由图象可知，当x＞3或x＜－1时，y＞0； 当x＝－1或x＝3时，y＝0；当－1＜x＜3时，y＜0. 类型二　二次函数的对称性与单调性 例2　已知函数f(x)＝x2－ax的单调增区间为(2，＋∞)． (1)求参数a的值；(2)求对称轴方程；(3)求在R上的最小值． 解　(1)∵f(x)＝x2－ax＝2－， ∴f(x)的单调增区间为. 又f(x)的单调增区间为(2，＋∞)， ∴＝2即a＝4. (2)对称轴方程为x＝2. (3)f(x)min＝f(2)＝－4. 引申探究 1．若f(x)＝x2－ax在(2，＋∞)上单调递增，则a的取值范围为________． 答案　(－∞，4] 解析　∵≤2，∴a≤4. 2．若f(x)＝x2－ax在[1,3]上单调，求a的范围． 解　∵f(x)＝x2－ax在[1,3]上单调， ∴区间必在对称轴x＝的一侧， ∴≤1或≥3， ∴a≤2或a≥6， 即a∈(－∞，2]∪[6，＋∞)． 反思与感悟　利用二次函数的单调性求参数的取值范围的方法 已知函数的单调性，求函数解析式中参数的范围，是函数单调性的逆向思维问题．解答此类问题的关键在于借助于函数的对称