2.4.1 函数的零点（课件+word）-【步步高】2019版学案导学与随堂笔记数学（人教B版必修1）新课标

§2.4　函数与方程 2.4.1　函数的零点 学习目标　1.理解函数零点的概念.2.会求一次函数、二次函数的零点.3.初步了解函数的零点、方程的根、函数图象与x轴交点的横坐标之间的关系． [来源:Zxxk.Com] 知识点　函数零点的概念 思考1　函数的“零点”是一个点吗？ 答案　不是，函数的“零点”是一个数，一个使f(x)＝0的实数x.实际上是函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标． 思考2　函数一定都有零点吗？ 答案　不一定．只有函数的图象与x轴有公共点时，才有零点． 梳理　1.函数的零点 如果函数y＝f(x)在实数α处的值等于零，即f(α)＝0，则α叫做这个函数的零点． 2．方程、函数、图象之间的关系 方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点． 3．二次函数的零点与相应一元二次方程根的关系 判别式Δ Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象 [来源:学|科|网Z|X|X|K] 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根 有两相异实根x1，x2(x1＜x2) 有两相等实根x1＝x2＝－ 没有实根 二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点 有两个零点x1，x2 有一个二重零点x1＝x2 没有零点 1．f(x)＝x2的零点是0.(　√　) 2．函数的零点是一个点．(　×　) 类型一　求函数的零点 例1　判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出． (1)f(x)＝－8x2＋7x＋1；(2)f(x)＝. 解　(1)存在．因为f(x)＝－8x2＋7x＋1 ＝(8x＋1)(－x＋1)， 所以方程－8x2＋7x＋1＝0有两个实根－和1， 即函数f(x)＝－8x2＋7x＋1的零点是－和1. (2)存在．令f(x)＝0，即＝0， 解方程得x＝－6(x＝2舍去)， 所以函数f(x)＝的零点是－6. 反思与感悟　求函数零点的两种方法 (1)代数法：求方程f(x)＝0的实数根． (2)几何法：对于不易求根的方程f(x)＝0，可以将它与函数y＝f(x)的图象联系起来，图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点． 跟踪训练1　求下列函数的零点． (1)f(x)＝x2－； (2)y＝(ax－1)(x＋2)． 解　(1)∵f(x)＝x2－， ∴x≠0. 令f(x)＝0，即x3－1＝0，∴x＝1， ∴f(x)＝x2－的零点为1. (2)①当a＝0时，令y＝0得x＝－2. ②当a≠0时，令y＝0得x＝或x＝－2. (ⅰ)当a＝－时，函数的零点为－2； (ⅱ)当a≠－时，函数的零点为，－2. 综上所述：当a＝0或－时，零点为－2； 当a≠0且a≠－时，零点为，－2. 类型二　函数零点个数的判断 例2　已知函数f(x)＝|x2－2x－3|－a，求实数a取何值时函数f(x)＝|x2－2x－3|－a，(1)有两个零点；(2)有三个零点． 解　令h(x)＝|x2－2x－3|和g(x)＝a，分别作出这两个函数的图象如图所示，它们交点的个数即函数f(x)＝|x2－2x－3|－a的零点个数． (1)若函数有两个零点，则a＝0或a＞4.[来源:学*科*网] (2)若函数有三个零点，则a＝4. 引申探究　 若f(x)＝x2－2|x|＋a－1有四个不同的零点，求a的取值范围． 解　令f(x)＝0，得a－1＝2|x|－x2. 令y1＝a－1，y2＝2|x|－x2. ∵f(x)＝x2－2|x|＋a－1有四个不同的零点， ∴y1＝a－1，y2＝2|x|－x2的图象有四个不同的交点． 画出函数y＝2|x|－x2的图象，如图所示． 观察图象可知，0＜a－1＜1，所以1＜a＜2. 反思与感悟　判断函数零点个数的三种方法 (1)利用方程的根，转化为解方程，有几个不同的实数根就有几个零点． (2)利用函数的图象．画出y＝f(x)的图象，判断它与x轴交点的个数，从而判断零点的个数． (3)转化为两个函数图象交点问题． 例如，函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点个数就是方程f(x)＝g(x)的实数根的个数，也就是函数y＝f(x)的图象与y＝g(x)的图象交点的个数． 跟踪训练2　已知a∈R，讨论关于x的方程|x2－6x＋8|＝a的实数解的个数． 解　令f(x)＝|x2－6x＋8|，在平面直角坐标系中画出f(x)的图象，如图所示， 下面对a进行分类讨论，由图象得， 当a<0时，原方程无实数解； 当a＝1时，原方程实数解的个数为3； 当0<a<1时，原方程实数解的个数为4； 当a>1或a＝0时，原方程实数解的个数为2. 类型三　函数零点性质的应用 例3　已知关于x的二次方程ax2－2(a＋1)x＋a－1＝0有两个根，且一个根大于2，另一个根小于2，试求实数a的取值范围． 解　令f(x)＝ax2－2(a＋