专题12 平面向量的概念及其线性运算-名师揭秘2020年高考数学(理)一轮总复习之三角函数、三角形、平面向量

专题12平面向量的概念及其线性运算 一、本专题要特别小心： 1.向量加减的几何意义 2. 向量共线的问题 3. 零向量问题 4.向量夹角为锐角和钝角问题 5.基本定理的两条路径法表示向量 6.向量共线与三点共线的区别与联系 7.向量的模与夹角的运算及应用问题 8.平行与垂直问题 二．【学习目标】 1．理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义；理解向量的几何表示． 2．掌握向量的加法、减法的运算，并理解其几何意义． 3．掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义． 4．了解向量线性运算的性质及其几何意义． 三．【方法总结】 1.向量线性运算技巧 (1)用已知向量表示与其相关的另外一些向量时，在运用向量的加法、减法、数乘运算的同时，应充分利用平面几何的一些基本定理. (2)在求向量时尽可能转化到某平行四边形或三角形内，以便运用平行四边形法则和三角形法则，涉及到线段比时，一方面考虑平行线定理，另一方面充分运用数乘运算的几何意义. 2.向量共线问题 (1)向量共线的充要条件中要注意当两向量共线时，通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，要注意待定系数法和方程思想的运用. (2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线. 四．【题型方法】 （一）向量共线与三点共线 例1．下列说法正确的是（ ） A．若，则、的长度相等且方向相同或相反 B．若向量、满足，且与同向，则 C．若，则与可能是共线向量 D．若非零向量与平行，则、、、四点共线 练习1．下列说法中正确的是（ ） A．单位向量都相等 B．平行向量不一定是共线向量 C．对于任意向量，，必有 D．若，满足且与同向，则 练习2．设是非零向量，则“存在实数，使得”是“”的 A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 练习3.下列命题正确的是( ) A．与共线，与共线，则与也共线 B．任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点 C．向量与不共线，则与都是非零向量 D．有相同起点的两个非零向量不平行 练习4．下列说法正确的个数为( ) （1）共线的两个单位向量相等； （2）相等向量的起点相同； （3）若，则一定有直线； （4）若向量，共线，则点A，B，C，D必在同一直线上． A．0 B．1 C．2 D．3 （二）向量的模 例2. 向量的夹角为，，，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 练习1.对于任意向量，，下列命题中正确的是（ ） A．如果，满足，且与同向，则 B． C． D． 练习2. 已知平面向量，则（ ） A． B．3 C． D．5 （三）向量加减运算法则的几何意义 例3.在四边形中，且，则四边形的形状一定是（ ） A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．等腰梯形 练习1.在中，，，，，为的三等分点，则（ ） A． B． C． D． 练习2．在四边形中，，，，那么四边形的形状是（ ） A．矩形 B．平行四边形 C．梯形 D．以上都不对 （四）零向量陷阱 例4. 下列说法中错误的是（　　） A．零向量与任一向量平行 B．方向相反的两个非零向量不一定共线 C．零向量的长度为0 D．方向相反的两个非零向量必不相等 练习1.已知命题“”，命题“是3个不同的向量，若，则”，则下列命题中为真命题的是（ ） A． B． C． D． 练习2.下列关于向量的说法中正确的是（ ） A．若且，则 B．若，则 C．向量（）且，则向量与的方向相同或相反 D．与方向相反，则与的方向相同 （五）向量的性质 例5. 对于非零向量，下列命题中正确的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则在上的投影为 D．若，则 练习1.在正方形中，为的中点，若，则的值为（ ） A． B． C． D．1 练习2．在中，为边上的中线，为（靠近点）的三等分点，则 A． B． C． D． （六）向量的几何意义 例6. 设点在的内部，且，若的面积是27，则的面积为（ ） A．9 B．8 C． D．7 练习1. 如图，在平行四边形中，点为的中点，连接，并延长交于，则（ ） A． B． C． D． 练习2.设O在△ABC的内部，D为AB的中点，且，则的面积与的面积的比值为( ) A．3 B．4 C．5 D．6 练习3.如图所示，设为所在平面内的一点，并且，则与的面积之比等于（ ） A． B． C． D． 练习4.已知点M是所在平面内一点，满足，则与的面积之比为（ ） A． B． C．3 D． 练习5.如图所示，已知点是的重心，过点作直线分别交两边于两点，且，，则的最小值为__________．