专题14 平面向量的数量积-名师揭秘2020年高考数学(理)一轮总复习之三角函数、三角形、平面向量

专题14平面向量的数量积 一、本专题要特别小心： 1.平面向量数量积的模夹角公式的应用 2. 平面向量数量积的坐标公式应用问题 3. 向量垂直的应用 4.向量的数量积问题等综合问题 5. 向量夹角为锐角、钝角时注意问题 6.向量数量积在解析几何中应用 7.向量数量积在三角形中的应用。 二．【学习目标】 1．理解平面向量数量积的含义及其物理意义． 2．了解平面向量的数量积与向量投影的关系． 3．掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算． 4．能运用数量积表示两个向量的夹角及判断两个平面向量的垂直关系． 5．会用向量方法解决一些简单的平面几何问题及力学问题． 三．【方法总结】 1.要准确理解两个向量的数量积的定义及几何意义，熟练掌握向量数量积的五个重要性质及三个运算规律.向量的数量积的运算不同于实数乘法的运算律，数量积不满足结合律：(a·b)·c≠a·(b·c)；消去律：a·b＝a·c b＝c；a·b＝0 a＝0或b＝0，但满足交换律和分配律. 2.公式a·b＝|a||b|cos θ；a·b＝x1x2＋y1y2；|a|2＝a2＝x2＋y2的关系非常密切，必须能够灵活综合运用. 3.通过向量的数量积，可以计算向量的长度，平面内两点间的距离，两个向量的夹角，判断相应的两直线是否垂直. 4.a∥b⇔x1y2－x2y1＝0与a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0要区分清楚. 四．【题型方法】 （一）向量的数量积 例1. 在矩形中，，，点为的中点，点在，若，则的值（　　） A． B．2 C．0 D．1 练习1. 在中，，，点是所在平面内的一点，则当取得最小值时， A． B． C． D． 练习2. 如图所示，已知点为的重心，，，则的值为___________. （二）向量的投影 例2. 在同一平面内，已知A为动点，B，C为定点，且∠BAC=，，BC=1，P为BC中点．过点P作PQ⊥BC交AC所在直线于Q，则在方向上投影的最大值是（　　） A． B． C． D． 练习1. 已知||=||=，动点满足，且，则在方向上的投影的取值范围是（　　） A． B． C． D． 练习2. 已知，，且，共线，则向量在方向上的投影为__________． 练习3. 已知，是夹角为的两个单位向量，若，，则在方向上的投影等于________． 练习4.定义两个非零平面向量的一种新运算，其中表示的夹角，则对于两个非零平面向量，下列结论一定成立的有（ ） A．在方向上的投影为 B． C． D．若，则与平行 （三）数量积与最值 例3. 在直角三角形中，，，，点在斜边的中线上，则的最大值为( ) A． B． C． D． 练习1. 已知，是两个单位向量，与，共面的向量满足，则的最大值为（　　） A． B．2 C． D．1 练习2. 在直角梯形中， ， ， ， 分别为， 的中点，以为圆心， 为半径的圆交于，点在弧上运动（如图）.若，其中， ，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 练习3．如图，已知点为等边三角形的外接圆上一点，点是该三角形内切圆上一点，若，，则的最大值为（ ） A． B．2 C． D． 练习4. 已知平面向量，，当时，的最小值是（ ） A． B． C． D． （四）由数量积求参数 例4. 在中，，，，设点、满足，，若，则（ ） A． B．2 C． D．3 练习1. 向量，，若，则_________. 练习2。设向量，，，若，则实数__________ （五）由向量数量积求范围 例5. 三角形中，,，为线段上任意一点，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 练习1. 在平面上，，，.若，则 的取值范围是(　　) A． B． C． D． 练习2. 如图，在直角梯形中， ， ∥， ， ，图中圆弧所在圆的圆心为点C，半径为，且点P在图中阴影部分（包括边界）运动．若，其中，则的取值范围是 A． B． C． D． 练习3. 已知向量，，若向量、的夹角为钝角，则实数的取值范围是__________。 练习4.已知 （1）求与的夹角； （2）若，求实数的取值范围． （六）数量积的综合应用 例6. 在中，边上的中线，若动点满足，则的最小值是____. 练习1. 在平面直角坐标系中，为坐标原点，点，，满足. （1）求的值； （2）已知，，，若函数的最大值为3，求实数的值. 练习2. 如图，以为始边作角与，它们的终边分别与单位圆相交于点，，已知点的坐标为. （1）求的值； （2）若，求的值. 练习3. 已知向量，，，其中，分别为直角坐标系内轴与轴正方向上的单位向量. （1）若,,三点共线时，求实数的值; （2）若是直角三角形，且为直角，求实