专题15 三角形的五心与向量-名师揭秘2020年高考数学(理)一轮总复习之三角函数、三角形、平面向量

专题15 三角形的五心与向量 一【知识点】 1.三角形的重心：三角形各边中线的交点 2. 三角形的垂心：三角形各边高线的交点 3. 三角形的内心：三角形各个内角平分线的交点 4. 三角形的外心：三角形各边垂直平分线的交点 5. 三角形的中心：正三角形四心合一为中心 二．【学习目标】 1．理解三角形五心的概念． 2．掌握五心的向量表示． 3．掌握五心的向量表示的轨迹问题． 三．【题型方法】 （一）三角形的内心 例1. 是平面上一定点， 是平面上不共线的三个点，动点 满足： ，则 的轨迹一定通过 的(　 　) A．内心 B．垂心 C．重心 D．外心 练习1. 已知 满足 ， ，则 为( ) A．顶角为 的等腰三角形 B．等腰直角三角形 C．有一个内角为 的直角三角形 D．等边三角形 练习2.O是平面内的一定点，A,B，C是平面内不共线的三个点，动点P满足则P点的轨迹一定通过三角形ABC的（ ） A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 （二）三角形的重心 例2.已知 中，向量 ，则点 的轨迹通过 的（ ） A．垂心 B．内心 C．外心 D．重心 练习1．过的重心作直线，已知与、的交点分别为、，，若，则实数的值为（ ） A．或 B． 或 C．或 D．或 练习2.已知O是△ABC所在平面上的一点，若= , 则O点是△ABC的( ) A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 练习3.已知是所在平面上的一定点，若动点满足，，则点的轨迹一定通过的( ) A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 练习4.已知O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三点，动点P满足，，则点P的轨迹一定通过的__________心． 例4.是平面上不共线的三点，为所在平面内一点，是的中点，动点满足，则点的轨迹一定过____心（内心、外心、垂心或重心）． （三）三角形的外心 例3. 已知点为外接圆的圆心，且，则的内角等于( ) A． B． C． D． 练习1.已知，点，为所在平面内的点，且，，， 则点为的 ( ) A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 练习2.在中，设，则动点M的轨迹必通过的（ ） A．垂心 B．内心 C．重心 D．外心 练习3.已知是锐角的外接圆圆心，是最大角，若，则的取值范围为________. 练习4.已知O是△ABC外接圆的圆心，AB=6，AC=15，=+，2+3=1，则cos∠BAC=______． （四）三角形的垂心 例4. 点P为所在平面内的动点，满足，，则点P的轨迹通过的　　 A．外心 B．重心 C．垂心 D．内心 练习1. 在中，若，则是的（ ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 练习2.是平面上的一定点，是平面上不共线的三点，动点满足 ，，则动点的轨迹一定经过的（ ） A．重心 B．垂心 C．外心 D．内心 （五）三角形问题综合 例5. 在中，、、分别为内角、、的对边，，，点为线段上一点，，则的最大值为（　　） A． B． C． D． 练习1. 若点是所在平面内的一点，且满足，则为（ ） A．等腰三角形 B．正三角形 C．直角三角形 D．以上都不对 练习2.已知是直线上任意两点，是外一点，若上一点满足，则的值是________. 练习3．已知为△的重心，过点的直线与边分别相交于点.若,则当与的面积之比为时，实数的值为________. 练习4. 已知中，点在线段上，且，延长到，使．设． （1）用表示向量； （2）若向量与共线，求的值． 练习4.已知P是三角形ABC所在平面内的任意一点，且满足则:______ （六）五心综合 例6.点O在△ABC所在平面内，给出下列关系式：（1）；（2）；（3）；（4）．则点O依次为△ABC的（　　） A．内心、外心、重心、垂心 B．重心、外心、内心、垂心 C．重心、垂心、内心、外心 D．外心、内心、垂心、重心 练习1.已知为的重心，过点的直线与边分别相交于点，若,则与的面积之比为_____. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ $$ 专题15 三角形的五心与向量 一【知识点】 1.三角形的重心：三角形各边中线的交点 2. 三角形的垂心：三角形各边高线的交点 3. 三角形的内心：三角形各个内角平分线的交点 4. 三角形的外心：三角形各边垂直平分线的交点 5. 三角形的中心：正三角形四心合一为中心 二．【学习目标】 1．理解三角形五心的概念． 2．掌握五心的向量表示． 3．掌握五心的向量表示的轨迹问题． 三．【题型方法】 （一）三角形的内心 例1. 是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足：，则的轨迹一定通过的(　 　) A．内心 B．垂心 C．重心 D