专题18 不等式选讲-2010-2019学年高考新课标全国I卷数学（文）真题分类汇编

专题18 不等式选讲 不等式选讲大题：10年10考，而且是作为2个选做题之一出现的，主要考绝对值不等式的解法（出现频率太高了，应当高度重视），偶尔也考基本不等式．全国卷很少考不等式小题，如果说有考的话，可以认为在其它小题中考一些解法之类的问题．不等式作为一种工具，解题经常用到，不单独命小题显然也是合理的．不等式的证明一般考在函数与导数综合题中出现． 1．（2019年）已知a，b，c为正数，且满足abc＝1．证明： （1）++≤a2+b2+c2； （2）（a+b）3+（b+c）3+（c+a）3≥24． 2．（2018年）已知f（x）＝|x+1|﹣|ax﹣1|． （1）当a＝1时，求不等式f（x）＞1的解集； （2）若x∈（0，1）时不等式f（x）＞x成立，求a的取值范围． 3．（2017年）已知函数f（x）＝﹣x2+ax+4，g（x）＝|x+1|+|x﹣1|． （1）当a＝1时，求不等式f（x）≥g（x）的解集； （2）若不等式f（x）≥g（x）的解集包含[﹣1，1]，求a的取值范围． 4．（2016年）已知函数f（x）＝|x+1|﹣|2x﹣3|． （1）在图中画出y＝f（x）的图象； （2）求不等式|f（x）|＞1的解集． 5．（2015年）已知函数f（x）＝|x+1|﹣2|x﹣a|，a＞0． （1）当a＝1时，求不等式f（x）＞1的解集； （2）若f（x）的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围． 6．（2014年）若a＞0，b＞0，且+＝． （1）求a3+b3的最小值； （2）是否存在a，b，使得2a+3b＝6？并说明理由． 7．（2013年）已知函数f（x）＝|2x﹣1|+|2x+a|，g（x）＝x+3． （1）当a＝﹣2时，求不等式f（x）＜g（x）的解集； （2）设a＞﹣1，且当x∈[，]时，f（x）≤g（x），求a的取值范围． 8．（2012年）已知函数f（x）＝|x+a|+|x﹣2| （1）当a＝﹣3时，求不等式f（x）≥3的解集； （2）f（x）≤|x﹣4|若的解集包含[1，2]，求a的取值范围． 9．（2011年）设函数f（x）＝|x﹣a|+3x，其中a＞0． （1）当a＝1时，求不等式f（x）≥3x+2的解集 （2）若不等式f（x）≤0的解集为{x|x≤﹣1}，求a的值． 10．（2010年）设函数f（x）＝|2x﹣4|+1． （1）画出函数y＝f（x）的图象； （2）若不等式f（x）≤ax的解集非空，求a的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ $$ 专题18 不等式选讲 不等式选讲大题：10年10考，而且是作为2个选做题之一出现的，主要考绝对值不等式的解法（出现频率太高了，应当高度重视），偶尔也考基本不等式．全国卷很少考不等式小题，如果说有考的话，可以认为在其它小题中考一些解法之类的问题．不等式作为一种工具，解题经常用到，不单独命小题显然也是合理的．不等式的证明一般考在函数与导数综合题中出现． 1．（2019年）已知a，b，c为正数，且满足abc＝1．证明： （1）++≤a2+b2+c2； （2）（a+b）3+（b+c）3+（c+a）3≥24． 【解析】（1）要证++≤a2+b2+c2；因为abc＝1． 就要证：++≤a2+b2+c2； 即证：bc+ac+ab≤a2+b2+c2； 即：2bc+2ac+2ab≤2a2+2b2+2c2； 2a2+2b2+2c2﹣2bc﹣2ac﹣2ab≥0 （a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2≥0； ∵a，b，c为正数，且满足abc＝1． ∴（a﹣b）2≥0；（a﹣c）2≥0；（b﹣c）2≥0恒成立；当且仅当：a＝b＝c＝1时取等号． 即（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2≥0得证． 故++≤a2+b2+c2得证． （2）证（a+b）3+（b+c）3+（c+a）3≥24成立； 即：已知a，b，c为正数，且满足abc＝1． （a+b）为正数；（b+c）为正数；（c+a）为正数； （a+b）3+（b+c）3+（c+a）3≥3（a+b）•（b+c）•（c+a）； 当且仅当（a+b）＝（b+c）＝（c+a）时取等号；即：a＝b＝c＝1时取等号； ∵a，b，c为正数，且满足abc＝1． （a+b）≥2；（b+c）≥2；（c+a）≥2； 当且仅当a＝b，b＝c；c＝a时取等号；即：a＝b＝c＝1时取等号； ∴（a+b）3+（b+c）3+（c+a）3≥3（a+b）•（b+c）•（c+a）≥3×8••＝24abc＝24； 当且仅当a＝b＝c＝1时取等号； 故（a+b）3+（b+c）3+（c+a）3≥24．得证． 故得证． 2．（2018年）已知f（x）＝|x+1|﹣|ax﹣1|． （1）当a＝1时，求不等式f（x）＞1的解集； （2）若x∈（0，1）时不