专题04 导数及其应用（解答题）-三年（2017-2019）高考真题数学（理）分项汇编

专题04 导数及其应用（解答题） 1．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知函数，为的导数．证明： （1）在区间存在唯一极大值点； （2）有且仅有2个零点． 2．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】已知函数. （1）讨论f(x)的单调性，并证明f(x)有且仅有两个零点； （2）设x0是f(x)的一个零点，证明曲线y=lnx在点A(x0，lnx0)处的切线也是曲线的切线. 3．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】已知函数. （1）讨论的单调性； （2）是否存在，使得在区间的最小值为且最大值为1？若存在，求出的所有值；若不存在，说明理由. 4．【2019年高考北京理数】已知函数． （Ⅰ）求曲线的斜率为1的切线方程； （Ⅱ）当时，求证：； （Ⅲ）设，记在区间上的最大值为M（a）．当M（a）最小时，求a的值． 5．【2019年高考天津理数】设函数为的导函数． （Ⅰ）求的单调区间； （Ⅱ）当时，证明； （Ⅲ）设为函数在区间内的零点，其中，证明． 6．【2019年高考浙江】已知实数，设函数 （1）当时，求函数的单调区间； （2）对任意均有 求的取值范围． 注：e=2.71828…为自然对数的底数． 7．【2019年高考江苏】设函数、为f（x）的导函数． （1）若a=b=c，f（4）=8，求a的值； （2）若a≠b，b=c，且f（x）和的零点均在集合中，求f（x）的极小值； （3）若，且f（x）的极大值为M，求证:M≤． 8．【2018年高考全国Ⅰ卷理数】已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若存在两个极值点，证明：． 9．【2018年高考全国Ⅲ卷理数】已知函数． （1）若，证明：当时，；当时，； （2）若是的极大值点，求． 10．【2018年高考全国Ⅱ卷理数】已知函数． （1）若，证明：当时，； （2）若在只有一个零点，求． 11．【2018年高考北京理数】设函数=[]． （Ⅰ）若曲线y= f（x）在点（1，）处的切线与轴平行，求a； （Ⅱ）若在x=2处取得极小值，求a的取值范围． 12．【2018年高考天津理数】已知函数，，其中a>1. （I）求函数的单调区间； （II）若曲线在点处的切线与曲线在点 处的切线平行，证明； （III）证明当时，存在直线l，使l是曲线的切线，也是曲线的切线. 13．【2018年高考浙江】已知函数f(x)=−lnx． （Ⅰ）若f(x)在x=x1，x2(x1≠x2)处导数相等，证明：f(x1)+f(x2)>8−8ln2； （Ⅱ）若a≤3−4ln2，证明：对于任意k>0，直线y=kx+a与曲线y=f(x)有唯一公共点． 14．【2018年高考江苏】某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O的一段圆弧（P为此圆弧的中点）和线段MN构成．已知圆O的半径为40米，点P到MN的距离为50米．现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD，大棚Ⅱ内的地块形状为，要求均在线段上，均在圆弧上．设OC与MN所成的角为． （1）用分别表示矩形和的面积，并确定的取值范围； （2）若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为．求当为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大． 15．【2018年高考江苏】记分别为函数的导函数．若存在，满足且，则称为函数与的一个“S点”． （1）证明：函数与不存在“S点”； （2）若函数与存在“S点”，求实数a的值； （3）已知函数，．对任意，判断是否存在，使函数与在区间内存在“S点”，并说明理由． 16．【2017年高考全国Ⅰ卷理数】已知函数. （1）讨论的单调性； （2）若有两个零点，求a的取值范围. 17．【2017年高考全国Ⅱ卷理数】已知函数，且． （1）求； （2）证明：存在唯一的极大值点，且． 18．【2017年高考全国Ⅲ卷理数】已知函数. （1）若，求a的值； （2）设m为整数，且对于任意正整数n，，求m的最小值. 19．【2017年高考浙江】已知函数f(x)=（x–）（）． （1）求f(x)的导函数； （2）求f(x)在区间上的取值范围． 20．【2017年高考北京理数】已知函数． （Ⅰ）求曲线在点处的切线方程； （Ⅱ）求函数在区间上的最大值和最小值． 21．【2017年高考天津理数】设，已知定义在R上的函数在区间内有一个零点，为的导函数． （Ⅰ）求的单调区间； （Ⅱ）设，函数，求证：； （Ⅲ）求证：存在大于0的常数，使得对于任意的正整数，且满足． 22．【2017年高考山东理数】已知函数，，其中 是自然对数的底数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）令，讨论的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值. 23．【2017年高考江苏】已知函数有极值，且导函数的极值点是的零点．（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值） （1）求关于的函数关