2019人教版高中数学选修2-2课件：1.1　变化率与导数

第一章 导数及其应用 1.1　变化率与导数 1.1.3　导数的几何意义 三维目标 三维目标 2．过程与方法 通过学生经历或观察感知由割线逼近“变成”切线的过程，理解导数的几何意义；通过分析导数的几何意义，研究在实际生活问题中，用区间较小的范围的平均变化率，来解决实际问题的瞬时变化率． 3．情感、态度与价值观 利用“以直代曲”的近似替代的方法，养成学生分析问题、解决问题的方法，初步体会发现问题的乐趣；增强学生问题应用意识教育，让学生获得学习数学的兴趣与信心． 重点难点 [重点] 曲线的切线的概念、切线的斜率、导数的几何意义的应用. [难点] 理解导数的几何意义． 教学建议 引导学生用以直代曲的思想理解导数的几何意义. 新课导入 [导入一] 平面几何中我们是怎样判断某直线是否是圆的割线或切线的呢？ 答：当直线与圆有一个交点时，直线与圆相切；当直线与圆有两个交点时，直线为圆的割线． [导入二] 如图所示，直线l1是曲线C的切线吗？l2呢？ 答：直线l1不是曲线C的切线，直线l2是曲线C上点A处的切线.   预习探究 (1)割线斜率与切线斜率 图1-1-3 设函数y=f(x)的图像如图1-1-1所示,AB是过点A(x0,f(x0))与点B(x0+Δx,f(x0+Δx))的一条割线,此割线的斜率是=. 当点B沿曲线趋近于点A时,割线AB绕点A转动,它的极限位置为直线AD,这条直线AD叫作此曲线在点A处的　　　　.于是,当Δx→0时,割线AB的斜率无限趋近于过点A的切线AD的斜率k,即k=　　　　= .  切线 f'(x0) 知识点一 导数的几何意义 预习探究 (2)导数的几何意义 函数y=f(x)在点x=x0处的导数的几何意义是曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率.也就是说,曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率是　　　　.相应地,切线方程为　　　　　　　　　.  f'(x0) y-f(x0)=f'(x0)(x-x0) × 预习探究 [思考] 判断下列说法的正误,正确的打“√”,错误的打“×”. (1)若函数y=f(x)在x=x0处的导数不存在,则曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处无切线. (　　) (2)若直线与曲线相切,则直线与曲线只有一个交点. (　　) (3)与直线2x-y+4=0平行的抛物线y=x2的切线方程是2x-y-1=0. (　　) (4)若f'(x0)>0,则切线的倾斜角为锐角;若f'(x0)<0,则切线的倾斜角为钝角;若f'(x0)=0,则切线与x轴平行或重合. (　　) [解析] (4)由导数的几何意义以及倾斜角的正切值的符号与角度的关系知,说法正确. √ × × 预习探究 从求函数f(x)在x=x0处导数的过程可以看出,当x=x0时,f'(x0)是一个确定的数.这样,当x变化时,f'(x)便是x的一个函数,我们称它为f(x)的　　　　.y=f(x)的导 函数记作　　　　或　　　　,即 f'(x)=y'=　　 　　　　　　.  导函数 f'(x) 知识点二 导函数的定义 y' 解:对于曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线,点(x0,f(x0))一定是切点,只要求出k=f'(x0),利用点斜式写出切线方程即可;而曲线y=f(x)过某点(x0,y0)的切线,给出的点(x0,y0)不一定在曲线上,即使在曲线上也不一定是切点. 预习探究 [探究] 曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线与曲线y=f(x)过某点(x0,y0)的切线有何不同? 1．导数是函数的瞬时变化率，它是从众多实际问题中抽象出来的具有相同的数学表达式的一个重要概念，可以从它的几何意义和物理意义来认识这一概念的实质． 2．函数y＝f(x)在点x0处的导数的几何意义是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处切线的斜率，也就是说，曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率是f′(x0)．相应地，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)．如果函数y＝f(x)在x0处的导数不存在，则说明斜率不存在．     备课素材 备课素材 考点类析 考点一 曲线的切线及切线的斜率 [导入] 如图1-1-4所示,当点Pn(xn,f(xn))(n=1,2,3,4)沿着曲线y=f(x)趋近于点P(x0,f(x0))时,我们发现,割线PPn趋近于确定的位置,这个确定位置的直线PT称为曲线在点P处的切线.请问:割线PPn的斜率kn与切线PT的斜率k有什么关系? 图1-1-4 解:割线PPn的斜率kn=,当点Pn无限趋近于点P时,kn无限趋近于切线PT的斜率k,即k==f'(x0). 考点类析 例1 已知抛物线y=2x2+1,求: (1)抛物线上哪一点的切线的倾斜角为45°?