2019人教版高中数学选修2-2课件：1.3　导数在研究函数中的应用

第一章 导数及其应用 1.3　导数在研究函数中的应用1.3.1　函数的单调性与导数 三维目标 1．知识与技能 正确理解利用导数判断函数的单调性的原理；掌握利用导数判断函数单调性的步骤． 2．过程与方法 学生经历发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的过程，提高创新能力． 3．情感、态度与价值观 在愉悦的学习氛围中，学生感受到解决数学问题的一般方法：从简单到复杂，从特殊到一般． 重点难点 [重点] 利用导数研究函数的单调性． [难点] 利用导数研究函数的单调性． 教学建议 本节课要充分利用数形结合思想解决问题. 新课导入 [导入一] 1．回顾以前所学的知识，判断函数单调性的常见方法是什么？ 答：有定义法、图像法，还可以借助于函数的其他性质，例如奇偶性、周期性等． 新课导入 [导入二] 如图 (1)，它表示跳水运动中高度h随时间t变化的函数h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10的图像，图 (2)表示高台跳水运动员的速度v随时间t变化的函数v(t)＝h′(t)＝－9.8t＋6.5的图像． 运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？ 通过观察图像，我们可以发现： 新课导入 (1)运动员从起跳到最高点，离水面的高度h随时间t的增加而增加，即h(t)是增函数．相应地，v(t)＝h′(t)>0. 从最高点到入水，运动员离水面的高度h随时间t的增加而减少，即h(t)是减函数．相应地，v(t)＝h′(t)<0. 预习探究 1.设函数y=f(x)在某个区间内可导,在这个区间内,如果　　　　,那么函数y=f(x)在这个区间内单调递增;如果　　　　,那么函数y=f(x)在这个区间内单调递减.  2.对于可导函数y=f(x)来说,“f'(x)>0”是“f(x)在某个区间上为增函数”的　　　　　　条件,“f'(x)<0”是“f(x)在某个区间上为减函数”的　　　　　　条件.  f'(x)>0 知识点一 函数的单调性与导函数的关系 f'(x)<0 充分不必要 充分不必要 预习探究 [探究] 若p:对任意x∈(a,b),都有f'(x)>0,q:f(x)在(a,b)内是单调递增的,则p是q的 (　　) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 [答案] A [解析] f(x)=x3在(-1,1)内是单调递增的,但f'(x)=3x2≥0(-1<x<1),故p是q的充分不必要条件. 预习探究 (1)确定函数y=f(x)的定义域; (2)求导数y'=f'(x); (3)解不等式　　　　　　,解集在定义域内的部分为增区间;  (4)解不等式　　　　　　,解集在定义域内的部分为减区间.  f'(x)>0 知识点二 利用导数判断函数的单调性的一般步骤 f'(x)<0 预习探究 [思考] 判断下列说法的正误,正确的打“√”,错误的打“×”. (1)函数f(x)=x+ln x在定义域内是增函数. (　　) (2)当x>2时,函数f(x)=2x的增长速度比g(x)=x2的增长速度慢. (　　) (3)函数f(x)=ex-x的单调递减区间是(0,+∞). (　　) √ [解析] (1)函数f(x)的定义域为{x|x>0},在定义域内f'(x)=1+>0恒成立,所以f(x)=x+ln x在定义域内是增函数. (2)因为f'(x)=2,g'(x)=2x,当x>2时,g'(x)>f'(x),所以说法正确. (3)f'(x)=ex-1,当x>0时,f'(x)>0,所以(0,+∞)是函数f(x)的单调递增区间. × √ 1．在区间(a，b)内，f′(x)>0是f(x)在(a，b)内单调递增的充分不必要条件．例如：f(x)＝x3⇒f′(x)＝3x2≥0，f′(0)＝0，f′(x)>0(x≠0)，而函数f(x)在R上递增． 学生易误认为只要有点使f′(x)＝0，则f(x)在(a，b)上是常函数，要指出个别导数为零不影响函数的单调性，同时要强调只有在这个区间内恒有f′(x)＝0，函数y＝f(x)在这个区间上才为常数函数． 2．函数f(x)在区间(a，b)内单调递增或递减的判定可依据单调性定义也可利用导数，应根据问题的具体条件适当选用方法，有时需将区间(a，b)划分成若干小区间，在每个小区间上分别判定单调性．  备课素材 3．利用导数研究多项式函数单调性的一般步骤 (1)求f′(x)； (2)确定f′(x)在(a，b)内的符号； (3)若f′(x)>0在(a，b)上恒成立，则f(x)在(a，b)上是增函数；若f′(x)<0在(a，b)上恒成立，则f(x)在(a，b)上是减函数．     备课素材 考点类析 考点一 函数图像与导函数图像的应用 解:在x=x0处,切线斜率为正,f'(x0)>0,函数f(x)在x=x0附