2019人教版高中数学选修2-3课件：1.3　二项式定理

第一章 计数原理 1.3　二项式定理 1.3.1　二项式定理 三维目标 1．知识与技能 (1)能用计数原理证明二项式定理． (2)掌握二项式定理及二项展开式的通项公式． (3)会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题． 2．过程与方法 能解决二项展开式有关的简单问题． 3．情感、态度与价值观 教学过程中，要让学生充分体验到归纳推理不仅可以猜想到一般性的结论，而且可以启发我们发现一般性问题的解决方法． 重点难点 [重点] 二项式定理及通项公式． [难点] 二项式定理的形式及通项公式的运用． 教学建议 通过二项式定理的学习应该让学生掌握有关知识，同时在求展开式、通项、证恒等式、近似计算等方面形成技能或技巧；进一步体会过程分析与特殊化方法等的运用；重视学生正确情感、态度和世界观的培养和形成．在教学中，努力把表现的机会让给学生，以发挥他们的自主精神；尽量创造让学生活动的机会，以让学生在直接体验中建构自己的知识体系；尽量引导学生的发展和创造意识，以使他们能在再创造的氛围中学习．     新课导入 [导入一] 问题：某人投资10万元，有两种获利的可能供选择．一种是年利率12%，按单利计算，10年后收回本金和利息．另一种年利率10%，按每年复利一次计算，10年后收回本金和利息． 试问，哪一种投资更有利？ 分析：本金10万元，年利率12%，按单利计算，10年后的本利和是 10×(1＋12%×10)＝22(万元)； 本金10万元，年利率10%，按每年复利一次计算，10年后的本利和是10×(1＋10%)10. 那么如何计算(1＋10%)10的值呢？能否在不借助计算器的情况下快速、准确地求出其近似值呢？这就得研究形如(a＋b)n的展开式．     新课导入 [导入二] 问题：(a＋b)n的展开式有什么特点？你能将它展开吗？试一试．     新课导入 学生可能通过具体的例子来展开说明． 如：(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3， 或(a＋b)4＝a4＋4a3b＋6a2b2＋4ab3＋b4. 学生归纳过程可能如下： 以(a＋b)4为例的展开式的分析过程： (a＋b)4＝(a＋b)(a＋b)(a＋b)(a＋b)＝a4＋4a3b＋6a2b2＋4ab3＋b4. 容易看到，等号右边的积的展开式的每一项，是从每个括号里任取一个字母的乘积，因而各项都是4次式，即展开式应有下面形式的各项：a4，a3b，a2b2，ab3，b4. 学生可能归纳出来：   新课导入 新课导入 预习探究 知识点一 二项式定理 二项式定理:(a+b)n=an+an-1b+…+an-kbk+…+bn(n∈N*). (1)项数:n次二项展开式共有　　　　项.  (2)次数:字母a的次数从n逐项递减到0,是　　　　　;字母b的次数从0逐项递增到n,是　　　　　;各项次数和均为二项式的次数n.  (3)二项式系数:(k∈{0,1,2,…,n})叫作(第k+1项的)二项式系数. n+1 降幂排列 升幂排列 预习探究 [思考] 二项式定理中,项的系数与二项式系数有什么区别? 解:二项式系数与项的系数是完全不同的两个概念.二项式系数是指,,…,,它只与次数n及各项的序号有关,与a,b的值无关;而项的系数是指该项中除变量外的常数部分,它不仅与各项的序号有关,还与a,b的值有关. 预习探究 [讨论] 以下对二项式定理的理解是否正确? (1)(a+b)n的展开式中有n项. (　　) (2)(a+b)n的展开式的第1项与(b+a)n的展开式的第1项相同. (　　) (3)(a+b)(c+d)4的展开式中含ac2d2项的系数是. (　　) √　 [解析] (1)(a+b)n的展开式中有n+1项. (2)(a+b)n的展开式的第1项为an,(b+a)n的展开式的第1项为bn,二者不同. (3)(a+b)(c+d)4的展开式中含ac2d2项的系数可以看成从(a+b)中选a,从4个(c+d)中取2个选c,另2个选d的方法种数,故含ac2d2项的系数为. × × 预习探究 (4)(a+b+c)4的展开式中含abc2项. (　　) (5)(a+b+c)5的展开式中含ab2c2项的系数是. (　　) √ [解析] (4)abc2是含a,b,c的四次项,是(a+b+c)4的展开式中的项. (5)(a+b+c)5的展开式中含ab2c2项的系数可以看成是从5个(a+b+c)中取一个选a,再从剩下的4个中取2个选b,其余选c的方法种数,有种选法,故含ab2c2项的系数为. √ 预习探究 知识点二 二项展开式的通项公式 (a+b)n展开式的第　　　　项叫作二项展开式的通项,记作Tk+1=　 　　　.  在二项式定理中,如果令a=1,b=x,则有(1+x)n=+x+x2+…+xk+…+xn. k+1