2019人教版高中数学选修2-2课件：3.1　数系的扩充和复数的概念

第三章 数系的扩充与复数的引入 3.1　数系的扩充和复数的概念3.1.1　数系的扩充和复数的概念 三维目标 1．知识与技能 了解引进复数的必要性；理解并掌握虚数单位i. 2．过程与方法 理解并掌握虚数单位与实数进行四则运算的规律． 3．情感、态度与价值观 理解并掌握复数的有关概念(复数集、代数形式、虚数、纯虚数、实部、虚部)，理解并掌握复数相等的有关概念． 重点难点 [重点] 复数的概念，虚数单位i，复数的分类(实数、虚数、纯虚数)和复数相等等概念． [难点] 虚数单位i的引进及复数概念的理解． 教学建议 复数的概念是复数这一章的基础，复数的有关概念都是围绕复数的代数表示形式展开的，虚数单位、实部、虚部的命名，复数相等的概念，以及虚数、纯虚数等概念的理解，教学中可结合具体例子，以促进对复数实质的理解．复数的概念如果单纯地讲解或介绍会显得较为枯燥无味，学生不易接受．因此，建议将已有的知识和新学的知识通过问题链设计，让学生体会书籍的扩充是生产实践的需要，也是数学学科自身发展的需要；可以通过小组合作学习，使学生了解数学的发展过程和规律. 新课导入 [导入一] 判断方程x2＋2x＋3＝0的解的个数． ∵Δ＝22－4×3<0，∴方程在实数范围内无解，但不能说方程无解． 对于实系数一元二次方程，当Δ<0时，没有实数根．这说明，人们在研究代数方程的过程中，如果限于实数集合，有些问题就无法解决．因此，需要把实数集进一步扩充，从本节课起，我们开始学习复数的相关知识． 新课导入 [导入二] 请同学们回答下列问题： (1)在自然数集N中，方程x＋4＝0有解吗？ (2)在整数集Z中，方程3x－2＝0有解吗？ (3)在有理数集中，方程x2－2＝0有解吗？ 先让学生独立思考，然后小组交流，最后师生总结． 问题(1)x＋4＝0无解，为此引进负数，自然数→整数； 问题(2)3x－2＝0无整数解，为此引进分数，整数→有理数； 新课导入 问题(3)x2－2＝0无有理数解，为此引进无理数，有理数→实数． 数集的每一次扩充，对数学本身来说，解决了在原有书籍中某种运算不能实施的矛盾． 提出问题：在实数集中，方程x2＋1＝0有解吗？如何对实数集进行扩充，使方程在新的数集中有解？ 预习探究 1.复数 (1)定义:形如a+bi(a,b∈R)的数叫作复数,其中i叫作　　　　　,a叫作复数的　　　,b叫作复数的　　　.  (2)表示方法:复数通常用　　　　表示,即　 　　　　,这一表示形式叫作复数的代数形式.  2.复数集 (1)定义:　 　　　所成的集合叫作复数集.  (2)表示方法:通常用　　　　表示.  知识点一 复数的有关概念 虚数单位 实部 虚部 字母z z=a+bi(a,b∈R) 全体复数 C 预习探究 3.复数的分类 解:如图所示. 预习探究 [思考] 用图示法表示复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系. 解:不一定.只有m,n∈R时,m,n才分别是复数m+ni的实部、虚部. 预习探究 [探究] 复数m+ni的实部、虚部一定分别是m,n吗? 预习探究 复数相等的充要条件:如果两个复数的实部与虚部分别对应相等,那么我们就说这两个复数相等,即a,b,c,d∈R,a+bi=c+di⇔a=c且b=d. 知识点二 两个复数相等 预习探究 [思考]判断下列说法的正误,正确的打“√”,错误的打“×”. (1)若a,b为实数,则z=a+bi为虚数. (　　) (2)如果两个复数的实部的差和虚部的差都为零,则这两个复数相等. (　　) (3)若ab=0,则z=a+bi为纯虚数. (　　) (4)任何两个复数都不能比较大小. (　　) [解析] (1)当b=0时,z=a+bi为实数. (2)这两个复数的实部和虚部分别相等,故两个复数相等. (3)当a=0且b≠0时,z=a+bi为纯虚数;当b=0时,z=a+bi为实数. (4)当这两个复数中至少有一个虚数时,不能比较大小. × √ × × 1．自然数、整数、有理数和实数，用图形表示包含关系如下： 2．虚数单位i是数学家想象出来的，由此可以得到复数集．实数恰可以看成是特殊的复数(虚部为零的)，另外，由复数相等的意义可以知道复数由实部和虚部唯一确定，   备课素材 备课素材 4．复数相等的定义是求复数值和在复数集中解方程的重要依据，一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小．如3＋5i与4＋3i不能比较大小． 5．复数是实数的充要条件 (1)z＝a＋bi∈R⇔b＝0(a，b∈R)；(2)z∈R⇔z＝z；(3)z∈R⇔z2≥0. 由a＋bi＝ a－bi，得2bi＝0，∴b＝0，故z∈R，反之成立． 由z2＝(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi≥0，得2ab＝0，且必定有b＝0，故z∈R，反之