2019人教版高中数学选修2-2课件：2.2　直接证明与间接证明

第二章 推理与证明 2.2　直接证明与间接证明 2.2.1　综合法和分析法 三维目标 1．知识与技能 结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点． 2．过程与方法 多让学生举命题的例子，培养他们的辨析能力；以及培养他们的分析问题和解决问题的能力． 3．情感、态度与价值观 通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣． 重点难点 [重点] 分析法和综合法的思考过程、特点． [难点] 分析法和综合法的思考过程、特点． 教学建议 本节内容结合学生已经学过的数学知识，通过实例引导学生分析综合法和分析法的思考过程与特点，并归纳出操作步骤，使他们在以后的学习中，能自觉地、有意识地运用综合法和分析法进行数学证明，养成言之有理、论证有据的习惯．引导学生比较两种证明方法的优点，进而灵活选择证明方法，规范证明步骤. 新课导入 [导入一] 合情推理分归纳推理和类比推理，所得的结论的正确性是要证明的．数学结论的正确性必须通过逻辑推理的方式加以证明．本节我们将学习两类基本的证明方法：综合法和分析法． 预习探究 1.定义:一般地,利用　　　　　和某些数学　　　　、　　　　、　　　　等,经过一系列的　　　　　　,最后推导出所要证明的结论成立,这种证明方法叫作综合法.  2.用P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等,Q表示所要证明的结论,则综合法可用如图2-2-1所示的框图表示. 图2-2-1 已知条件 定义 知识点一 综合法的定义与特点 公理 定理 推理论证 解:因为综合法的每一步推理都是严密的逻辑推理,因此所得到的每一个结论都是正确的,不同于合情推理中的“猜想”,所以综合法是演绎推理. 预习探究 [讨论] 综合法又叫由因导果法,其推理过程是合情推理还是演绎推理? 预习探究 1.定义:一般地,从要证明的　　　　出发,逐步寻求使它成立的　　　　　　,直至最后,把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(　　　　　　、　　　　、　　　　、　　　　等)为止,这种证明方法叫作分析法.  2.用Q表示要证明的结论,则分析法可用如图2-2-2所示的框图表示. 图2-2-2 知识点二 分析法的定义与特点 结论 充分条件 已知条件 定理 定义 公理 预习探究 [讨论] 综合法与分析法的区别是什么? 解:综合法是从已知条件出发,逐步推向未知,每步寻找的是必要条件; 分析法是从待求结论出发,逐步靠拢已知,每步寻找的是充分条件. 1．本节课的学习需要学生有一定的认知基础，应尽量选择学生熟悉的例子．体会分析法和综合法的思考过程、特点．“变形”是解题的关键，是最重要一步．因式分解、配方、凑成若干个平方和等是“变形”的常用方法． 2．在数学证明中，综合法和分析法是两种最常用的数学方法，若从已知入手能找到证明的途径，则用综合法，否则用分析法． 3．综合法的每步推理都是寻找必要条件，分析法的每步推理都是寻找充分条件，在解题表述中要注意语言的规范性和逻辑性． 4．综合法和分析法是两种互逆的思维模式，在证明某些较复杂的问题时，常采用分析综合法，用综合法拓展条件，用分析法转化结论，找出已知与结论的连结点． 备课素材 5.综合法与分析法的比较 备课素材 方法 证明的起始步骤 求证过程 求证目标 证题方向 综合法 已知、定义、公理、定理或已经证明过的结论 实施一系列的推出或等价变换 要求证的结论 由因到果 分析法 要求证的结论 寻求结论成立的充分条件，并证明这个充分条件的成立 所需条件全部成立 执果索因 考点类析 考点一 综合法的应用 [导入] (1)对于不等式a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc,其左、右两边的结构有什么特点? (2)若已知a>0,b>0,如何利用不等式的性质证明a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc? 解:(1)右边是a,b,c三个数的乘积的4倍,左边是两项之和,其中每一项都是一个数与另两个数的平方和之积. (2)因为a>0,b>0,所以b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ac,所以a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc,当且仅当a=b=c时等号成立. 考点类析 例1 已知在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a,b,c成等比数列,求证:acos2+ccos2≥b. 证明:因为a,b,c成等比数列,所以b2=ac. 因为acos2+ccos2=+=(a+c)+(acos C+ccos A)=(a+c)+ a·+c· =(a+c)+b≥+=b+=b,当且仅当a=b=c时等号成立,所以acos2+ccos2≥b. 考点类析 【变式】设数列{an}的前n项和为Sn,且(3-m)Sn+2man=m+3(n∈N*),其中m为常数且m≠-3. (1)求证:{an}是等比数列; (2)若数列