2019北师大版高中数学选修1-1课件：2.2抛物线

第二章 圆锥曲线与方程 §2　抛物线 2.2　抛物线的简单性质 第2课时　抛物线的简单性质(2) 预习探究 知识点　 直线与抛物线的位置关系 1.直线与抛物线的位置关系有　　　　、　　　　、　　　　,直线与抛物线的公共点个数通常用它们组成方程组解的个数来判定.  2.由方程y=kx+b与y2=2px联立,消去y得k2x2+2(kb-p)x+b2=0.当k≠0时,若Δ>0,则直线与抛物线有　　个不同的公共点;当Δ=0时,直线与抛物线有　　个公共点;当Δ<0时,直线与抛物线　　　　公共点.当k=0时,直线与抛物线的对称轴平行或重合,此时直线与抛物线有　　　个公共点.  相离 2 1 没有 1 相切 相交 预习探究 [思考] (1)直线与抛物线有一个公共点,它们位置关系如何? (2)弦长公式|AB|=|x1-x2|,|AB|=x1+x2+p适用条件有什么不同? 解:(1)它们的位置关系包括两种情形:直线与抛物线相交,且直线与抛物线的对称轴平行或重合;直线与抛物线相切. (2)|AB|=|x1-x2|是一般的弦长公式,它适用于所有求弦长的情况,而|AB|=x1+x2+p只适用于求焦点弦的长. 备课素材 1．焦半径 抛物线上一点与焦点F连线的线段叫作焦半径，设抛物线上任一点A(x0，y0)，则四种标准方程形式下的焦半径公式如下表： 标准方程 y2＝2px (p＞0) y2＝－2px (p＞0) x2＝2py (p＞0) x2＝－2py (p＞0) 焦半径 备课素材 考点类析 考点一　直线与抛物线的位置关系 [导入] (1)判断直线与抛物线位置关系的方法与判断直线与椭圆的位置关系的方法类似吗? (2)若直线与抛物线有且只有一个公共点,直线与抛物线一定相切吗? (3)怎样求直线被抛物线截得的弦长?弦长公式是什么? 解:(1)类似. 解:(2)不一定. 解:(3)求弦长时,要先区分直线是否过焦点,若过抛物线的焦点,可直接使用公式|AB|=x1+x2+p,若不过焦点,则必须用一般的弦长公式|AB|=|x1-x2|求解. 考点类析 考向1　交点个数问题 例1　当k为何值时,直线y=kx+k-2与抛物线y2=4x有两个公共点?仅有一个公共点?无公共点? 解:由消去y整理得k2x2+2(k2-2k-2)x+(k-2)2=0. 当k=0时,方程化为-4x+4=0,原方程组只有一组解此时直线与抛物线只有一个公共点. 当k≠0时,方程为一元二次方程,Δ=4(k2-2k-2)2-4k2(k-2)2=-16(k2-2k-1).由Δ>0,得1-<k<0 考点类析 考向1　交点个数问题 例1　当k为何值时,直线y=kx+k-2与抛物线y2=4x有两个公共点?仅有一个公共点?无公共点? 或0<k<1+,此时直线与抛物线有两个公共点;由Δ=0,得k=1±,此时直线与抛物线相切,只有一个公共点;由Δ<0,得k<1-或k>1+,此时直线与抛物线没有公共点. 综上,当1-<k<0或0<k<1+时,直线与抛物线有两个公共点;当k=1±或k=0时,直线与抛物线只有一个公共点;当k<1-或k>1+时,直线与抛物线没有公共点. 考点类析 【变式】 设抛物线y2=8x的准线与x轴交于点Q,若过点Q的直线l与抛物线有公共点,则直线l的斜率k的取值范围是(　　) A. B.[-2,2] C.[-1,1] D.[-4,4] [答案] C [解析]由题意可知Q(-2,0),设直线l的方程为y=k(x+2),由 得k2x2+4(k2-2)x+4k2=0.当k=0时,显然满足题意;当k≠0时,由Δ≥0,得-1≤k<0或0<k≤1.综上,k的取值范围是[-1,1]. 考点类析 [小结]直线与抛物线只有一个公共点有两种情形:直线与抛物线相交,且直线与抛物线的对称轴平行或重合;直线与抛物线相切. 考点类析 【拓展】经过点P(-2,1)且斜率为k的直线l与抛物线y2=4x只有一个公共点,则k的取值范围为 (　　) A.{0,-1} B. C. D. [答案] D [解析]经过点P(-2,1)且斜率为k的直线l的方程可设为y=k(x+2)+1,代入抛物线方程y2=4x,整理得k2x2+(4k2+2k-4)x+4k2+4k+1=0(*),直线与抛物线只有一个公共点等价于方程(*)只有一个根.当k=0时,符合题意;当k≠0时,由Δ=(4k2+2k-4)2-4k2(4k2+4k+1)=0,得 2k2+k-1=0,解得k=或k=-1.综上可得,当k=或k=-1或k=0时,直线l与抛物线只有一个公共点,故k∈. 考点类析 考向2　直线与抛物线的相交弦问题 例2　已知抛物线y2=6x,过点P(4,1)引一条弦P1P2使它恰好被点P平分,求这条弦所在的直线方程及|P1P2|. 解:由