2019北师大版高中数学选修1-1课件：4.1函数的单调性与极值

第四章 导数应用 §1　函数的单调性与极值 1.1　导数与函数的单调性 三维目标 1．知识与技能 (1)正确理解利用导数判断函数的单调性的原理． (2)掌握利用导数判断函数单调性的方法． 2．过程与方法 通过在教学过程中让学生多动手、多观察、勤思考、善总结，引导学生养成自主学习的学习习惯． 3．情感、态度与价值观 培养学生的观察能力、归纳能力，增强数形结合的思维意识． 重点难点 [重点] 探索并应用函数单调性与导数的关系求单调区间． [难点] 利用导数信息绘制函数的大致图像． 教学建议 本节课是一节新授课，课本所提供的信息很简单，如果直接得出结论，学生也能接受，可学生只能进行简单的模仿应用． 为了突出知识的发生过程，不把新授课上成习题课，设计思路如下，以便教会学生会思考解决问题： (1)首先研究从熟悉的二次函数入手，简单复习回顾以前的方法；若从不熟悉的三次函数入手，使学生体会到以前的知识已不能解决，必须寻求一个新的解决办法，产生认知冲突，认识到再次研究单调性的必要性； 教学建议 (2)从简单的、熟悉的函数图像入手，引导学生从函数的切线斜率变化观察函数单调性的变化，再与新学的导数联系起来，形成结论．另外，也使学生感受到解决数学问题的一般方法：从简单到复杂，从特殊到一般． (3)应用中重点指导学生的解题步骤，避免考试中隐性失分． 在今后的教学中，应注重学生的参与，引发认知冲突，教会学生思考问题．加强教案设计的合理性，语言做到准确、简练．节奏要把握好． 新课导入 [导入一] 函数是客观描述世界变化规律的重要数学模型，研究函数时，了解函数的增与减、增减的快与慢以及函数的最大值或最小值等性质是非常重要的． 通过研究函数的这些性质，我们可以对数量的变化规律有一个基本的了解．下面，我们运用导数研究函数的性质，从中体会导数在研究函数中的作用． 新课导入 [导入二] [引例] 1．确定函数y＝x2－4x＋3在哪个区间内是增函数？在哪个区间内是减函数？ 解： y ＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，在(－∞，2)上是减函数，在(2，＋∞)上是增函数． 问： (1)为什么y＝x2－4x＋3在(－∞，2)上是减函数，在(2，＋∞)上是增函数？ (2)研究函数的单调区间你有哪些方法？ ①观察图像的变化趋势；(函数的图像必须能画出的) ②利用函数单调性的定义．(复习一下函数单调性的定义) 新课导入 2．确定函数f(x)＝2x3－6x2＋7在哪个区间内是增函数？哪个区间内是减函数？ (1)能画出函数的图像吗？那如何解决？试一试．提问一个学生：解决了吗？到哪一步解决不了？(产生认知冲突) (2)(多媒体放映) 新课导入 [发现问题] 定义是解决单调性最根本的工具，但有时很麻烦，甚至解决不了．尤其是在不知道函数的图像的时候，如函数f(x) ＝ 2x3－6x2＋7 ，这就需要我们寻求一个新的方法来解决．(研究的必要性)事实上用定义研究函数y＝x2－4x＋3的单调区间也不容易． [探究] 我们知道函数的图像能直观的反映函数的变化情况，下面通过函数的图像规律来研究． 问：如何入手？(图像)从函数f(x) ＝ 2x3－6x2＋7的图像吗？ (引出新课) 预习探究 知识点一　导函数的符号与函数单调性之间的关系 如果在某个区间内,都有函数y=f(x)的导数f'(x)>0,则在这个区间上,函数y=f(x)是增加的; 如果在某个区间内,都有函数y=f(x)的导数f'(x)<0,则在这个区间上,函数y=f(x)是减少的. 解:在利用导数讨论函数的单调区间时,首先要确定函数的定义域,解决问题的过程只能在定义域内,通过讨论导数的符号来判断函数的单调区间. 如果一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个,这些单调区间中间不能用集合运算符号“∪”连接,而只能用“,”或“和”字隔开. [思考]利用导数判断函数单调性及单调区间应注意哪些问题? 预习探究 知识点二　利用导数的符号求函数的单调区间 利用导数求函数y=f(x)单调区间的步骤: (1)确定函数y=f(x)的定义域; (2)求导函数y'=f'(x),令　　　　　,解此方程,求出它在定义域内的一切实根;  (3)把函数y=f(x)的间断点(包含f(x)的无定义点)的横坐标和上面的各实根按顺序排列起来,然后用这些点把函数f(x)的定义域分成若干个小区间; (4)用数轴标根法确定　　　　　的区间,即定义域内的递增区间; 　　　　　的区间,即定义域内的递减区间.  f'(x)=0 f'(x)>0 f'(x)<0 [思考] (1)如果一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个,那么如何表示这些区间? (2)函数的单调区间与其定义域满足什么关系? 预习探究 [答案] (1)不能用“∪”连接,只能用“,”或“和”字隔开. (2)函数的单调