第3章 不等式的解题策略-高中数学不等式讲义（人教版）【2019原创资源大赛】

第三章 不等式的解题策略 不等式的证明因题而异，技巧性强。基本方法有比较法、综合法、分析法、反证法、数学归纳法，此外，还有放缩法、构造法(如构造函数、方程、向量、复数、几何、抽屉等模型、换元法、估计法、调整法、假设法、概率法、求导法、递推法、待定系数法等. 不等式的证明，除掌握一些基本方法外，还要能娴熟地运用著名不等式(如均值不等式、柯西不等式、排序不等式等)以及它们的各种变式。代数变形能力和计算能力是不等式证明的基础。 1.分段讨论法 一般地，分段讨论法常见形如： （高中目前最多含有两个绝对值的多项式），把 的解叫做 的零点。分段讨论法的基本解题思路是先求出绝对值内因式的零点，实数集被零点分割为若干个区间，在每个区间上分别对不等式求解，最后求出各区间解的并集，即为原不等式的解集。分段讨论法是解决绝对值不等式的基本方法，具有一般性的特点，对各种绝对值不等式的求解均具有普遍适用性。需要注意的是，去除绝对值过程中，划分区间是其中重要环节，在此过程中，学生往往一时疏忽而忽略掉某个区间端点值，造成解题错误，因此，在运用此方法过程中，不遗漏区间端点值是解题的成功的关键。 [例1].设函数 （1） 求不等式 的解集 （2） 求 的最小值 （3） 若 的解集是 ，求 的取值范围 解析： 所以，当 时即 ，解得 ；当 时， 恒成立； 当 时即 .综上 的解集是 . （2） 由（1）得 （3）因为 ，所以当 时， 恒成立，因此 的解集是 . 所以 的取值范围是 . 点评：基于上题可以看出，划分区间段的重要性，在区间段的划分过程中，坚持做到“不重不漏”原则，求解每个区间上的不等式时要和区间取交集，最后的结果是要将每个区间段的结果取并集. 2.平方法 平方法是解决绝对值不等式问题的另一种常用方法，一般应用于不等号的两边含有或者通过转化可以使两边含有单项绝对值的不等式，这类方法的基本思想是利用 去掉绝对值符号。 [例2]求不等式 的解集 解析：由 得 ，因为 ，所以 ，即 ，所以 ，即 ，所以 解得 .所以原不等式解集是 [例3]解不等式 解析：由于 ，所以原不等式两边平方得： 整理得： ①当 即 时， ; ②当 即 时，无解; ③当 即 时， . 综上：当 时，解集为 ， 时，解集是