第4章 不等式恒成立问题一般解法-高中数学不等式讲义（人教版）【2019原创资源大赛】

第四章 恒成立问题的一般解法 近年来关于恒成立问题在高考频繁出现，恒成立问题涉及方程、不等式、函数性质与图像以及它们之间的综合应用，同时渗透换元、转化与划归、数形结合、函数与方程等思想方法，考查综合结题能力，尤其是在函数、导数中体现的更加明显，也是历年高考的热点问题。 1.转换变量法 对于含有两个参数，且已知一参数的取值范围，可以通过转换变量，构造以已知参数为自变量的函数（以一次函数为主），利用函数的性质求另一参数的取值范围. 对于一次函数 EMBED Equation.3 ，若 在区间 内有 恒成立，则根据函数的图像（直线）可得如下结论： （1） 或（2） 也可以将上述两式合并为 . 同理，若函数 在区间 内恒有 成立，则有 [例1]对于满足 的任意实数 ，若不等式 恒成立，求 的取值范围. 解析：原不等式整理为： ，记 .则 在 区间内恒有 成立,所以有 即 解得 或 . [例2]若不等式 对满足 的所有 都成立，求 的取值范围. 解析：设 EMBED Equation.3 ，对满足 的 ，有 恒成立.所以有 即 解得： [例3]函数 ，当 时， 恒成立，则 的最大值与最小值之和为（ ） A. B. C. D. 解析：函数 以 为变量转化为函数 只需两端点成立即可，即 解得 作出可行区域， 令 ， 由可行区域知 ,所以 ， . 所以最大值与最小值的和是 .答案选B. 2.变量分离法 对于一些含参数的不等式问题，通过将不等式同解变形，使不等式中的变量和参数分离，再通过求函数的值域的方法将问题划归为解关于参数的不等式的问题. [例4]若对于任意角 总有不等式 成立，求 的取值范围. 解析：由原不等式得 ，又 ，则原不等式等价于 恒成立,令 ，只需求 最小值即可. 因为 ，即 时， 有最小值 ，故 . [例5]设函数 （ 且 ）.求 （1） 函数 的单调区间； （2） 若 对任意的 成立，求实数 的取值范围. 解析：（1）略， 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 和 （2）对 两边取自然对数得： 因为 ，所以 ， 两边同除以 ，分离参数 得： ,由（1）知当 时， 的最大值为 ，所以 的最大值为 ，所以 .即 的取