第5章 不等式中任意性与存在性问题-高中数学不等式讲义（人教版）【2019原创资源大赛】

第五章 不等式中的任意性与存在性 任意性与存在性在逻辑上是互为否定的两个量词。近几年在全国各地的高考试题以它们立意命题，已经成为考查高中数学知识的热点。尤其在函数与导数以及不等式中频频出现，由于这类问题灵活多变，思辨性强，大多数学生望而生畏、束手无策。下面通过案例的解析对“任意”与“存在”这两个概念进行探析，希望对大家有所启发。 [例1] 设函数 （1） 若对任意的 ，使得 成立，求实数 的取值范围. （2） 若存在 ，使得 成立，求实数 的取值范围. （3） 若对任意的 ，使得 成立，求实数 的取值范围. （4） 若存在 ，使得 成立，求实数 的取值范围. （5） 若对任意的 ，存在 ，使得 成立，求实数 的取值范围. （6） 若对任意的 ，存在 ，使得 成立，求实数 的取值范围. （7） 若对任意的 ，总存在 ，使得 成立，求实数 的，取值范围. 解析：（1）对任意的 ，使得 成立，只需 在 上恒成立，即 在 上恒成立，令 ，则只需 ，因为 上是单调递增的。则 ，综上， 点评：分离参数法，转化为求不含参数的新函数的最值问题。 （2）解法1：存在 ，使得 成立，则 在 上有解，令 ，则 在 上有解，只需 .答案 . 解法2：通过分离参数法使得 ， ，只需 即可，因为 .即 . 点评：若存在 ，使得 成立，等价于 在 上有解，构造函数 .则只需求 即可. （3）对任意的 ，使得 成立。则当 时，只需 ，因为 ， EMBED Equation.3 ，所以 在 上单调递增,所以 EMBED Equation.3 ， ，所以 ，解得 ，又 ，所以 . 点评：对任意的 ，使得 成立等价于当 时， .即转化为两个函数的最大值与最小值之间的大小关系. （4）若存在 ，使得 成立,则当 时， ，而 ， ，所以 ，解得 . 点评：若存在 ，使得 成立等价于当 时 .即转化为两个函数最大值与最小值之间的大小关系. （5）若对任意的 ，存在 ，使得 成立.只需 ，而 ， ，则 ，解得 . 点评：对任意的 ，存在 使得 ，只需转化为两个函数的最小值之间的大小关系. （6） 若对任意的 ，存在 ，使得 成立，只需 ，而 ， 即 ，解得 ，又 ，所以 . 点评：对任意的 ，存在 使得 ，