第6章 均值不等式与柯西不等式-高中数学不等式讲义（人教版）【2019原创资源大赛】

第6章 均值不等式与柯西不等式 1.平均值不等式 设 均为正实数，记 ,（算术平均数） ,（几何平均数） ,（调和平均数） ,（平方平均数）则 .不等式中等号成立的条件是 .高中教材中主要有以下均值不等式： 设 为 个非负实数，则 ，特别地，当 时有： ，当且仅当 时，等号成立，此不等式也称为“基本不等式”，在高考中运用十分广泛，尤其在求最值时。 2.极值定理 已知 都是正数，则 （1）如果乘积 定值，那么当 时 ； （2）若 定值，那么当 时， . 3.柯西不等式 设 和 是两组实数，则 ,等号当且仅当 （ 为常数， ）时成立.柯西不等式有以下常见的变形形式： （1） 设 ,则 ,等号成立当且仅当 （ ）. （2） 设 同号且不为零（ ），则 ,等号成立当且仅当 . [例1]设 且 .求证： 证明：由均值不等式得： ， ，三式相加得： 即 ，所以原式得证。 [例2]设 且 ，则 的最小值是 . 解析：设动点 ，则 EMBED Equation.3 ,而 分别在直线 与双曲线 上，双曲线上任一点 到直线 的距离 ，当且仅当 时等号成立，故 的最小值是 . [例3]设 ，且 ,求证： . 证明： ,同理： ， 所以： [例4] 已知实数 满足 ,则 的最大值是 解析：因为 ，所以 即： EMBED Equation.3 ，由此得最大值是 ，等号成立当且仅当 . [例5]设 ,求 的最小值. 解析：由平均值不等式得： EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 所以， 的最小值是 [例6]若 ，求证： . 证明：由 ,有 , , . 所以 . [例7]已知 ，求 的最小值. 解析：由柯西不等式得 即： ,整理得 .所以 的最小值是 . [例8]求函数 的最大值. 解析：函数的定义域为 ，且 ，则 EMBED Equation.3 ，当且仅当 ，即 时函数去最大值 . [例9]已知实数 ,且 ， ， 则 的值是 . 解析：因为 ，由柯西不等式取等号条件得 ，令 ，则 ，所以 ，即 . 所以 . [例10]函数 的值域是 . 解析：由柯西不等式知 EMBED Equat