专题15 点的轨迹、直线与圆、圆与圆的位置关系-2019年初高中数学无忧衔接精品课程

专题15 点的轨迹、直线与圆、圆与圆的位置关系 一、知识点精讲 （一）点的轨迹 在几何中，点的轨迹就是点按照某个条件运动形成的图形，它是符合某个条件的所有点组成的.例如，把长度为 的线段的一个端点固定，另一个端点绕这个定点旋转一周就得到一个圆，这个圆上的每一个点到定点的距离都等于 ；同时，到定点的距离等于 的所有点都在这个圆上.这个圆就叫做到定点的距离等于定长 的点的轨迹. 我们把符合某一条件的所有的点组成的图形，叫做符合这个条件的点的轨迹.这里含有两层意思： （1）图形是由符合条件的那些点组成的，就是说，图形上的任何一点都满足条件； （2）图形包含了符合条件的所有的点，就是说，符合条件的任何一点都在图形上. 下面，我们讨论一些常见的平面内的点的轨迹. 从上面对圆的讨论，可以得出： ①到定点的距离等于定长的点的轨迹是以定点为圆心，定长为半径的圆. 我们学过，线段垂直平分线上的每一点，和线段两个端点的距离相等；反过来，和线段两个端点的距离相等的点，都在这条线段的垂直平分线上.所以有下面的轨迹： ②和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是这条线段的垂直平分线. 由角平分线性质定理和它的逆定理，同样可以得到另一个轨迹： ③到已知角的两边距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线. （二）直线与圆、圆与圆的位置关系判定 (1)设有直线 和圆心为 且半径为 的圆，怎样判断直线 和圆 的位置关系？ 如图：不难发现直线与圆的位置关系为：当圆心到直线的距离 时，直线和圆相离，如圆 与直线 ；当圆心到直线的距离 时，直线和圆相切，如圆 与直线 ；当圆心到直线的距离 时，直线和圆相交，如圆 与直线 . 在直线与圆相交时，设两个交点分别为A、B.若直线经过圆心，则AB为直径；若直线不经过圆心，如图，连结圆心 和弦 的中点 的线段 垂直于这条弦 .且在 中， 为圆的半径 ， 为圆心到直线的距离 ， 为弦长 的一半，根据勾股定理，有 当直线与圆相切时，如图， 为圆 的切线，可得 ， ，且在 中， 为圆 的切线， 为圆 的割线，我们可以证得 ，因而 . (2)设圆 与圆 半径分别为 ，它们可能有哪几种位置关系？ 两圆的圆心距为 ，不难发现：当 时，两圆相内切，如图（1）；当 时，两圆相外切，如图（2）；当 时，两圆相内含，如图（3）；当 时，两圆相交，如图（4）；当 时，两圆相外切，如图（5）. 二、典例精析 【典例1】已知⊙O的半径OB=5cm，弦AB=6cm，D是 的中点，求弦BD的长度。 【典例2】已知圆的两条平行弦的长度分别为6和 ，且这两条线的距离为3.求这个圆的半径. 【典例3】设圆 与圆 的半径分别为3和2， ， 为两圆的交点，试求两圆的公共弦 的长度. 三、对点精练 1. ⊙O的半径为17cm，弦AB=30cm，AB所对的劣弧和优弧的中点分别为D、C，求弦AC和BD的长。 2. 已知四边形ABCD是⊙O的内接梯形，AB//CD，AB=8cm,CD=6cm, ⊙O的半径等于5cm，求梯形ABCD的面积。 3. ⊙O的直径AB和弦CD相交于点E， 求CD的长。 4. 若两圆的半径分别为3和8，圆心距为13，试求两圆的公切线的长度. 5. 画图说明满足下列条件的点的轨迹： （1）到定点 的距离等于 的点的轨迹； （2）到直线 的距离等于 的点的轨迹； （3）已知直线 ，到 、 的距离相等的点的轨迹. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ $$ 专题15 点的轨迹、直线与圆、圆与圆的位置关系 一、知识点精讲 （一）点的轨迹 在几何中，点的轨迹就是点按照某个条件运动形成的图形，它是符合某个条件的所有点组成的.例如，把长度为 的线段的一个端点固定，另一个端点绕这个定点旋转一周就得到一个圆，这个圆上的每一个点到定点的距离都等于 ；同时，到定点的距离等于 的所有点都在这个圆上.这个圆就叫做到定点的距离等于定长 的点的轨迹. 我们把符合某一条件的所有的点组成的图形，叫做符合这个条件的点的轨迹.这里含有两层意思： （1）图形是由符合条件的那些点组成的，就是说，图形上的任何一点都满足条件； （2）图形包含了符合条件的所有的点，就是说，符合条件的任何一点都在图形上. 下面，我们讨论一些常见的平面内的点的轨迹. 从上面对圆的讨论，可以得出： ①到定点的距离等于定长的点的轨迹是以定点为圆心，定长为半径的圆. 我们学过，线段垂直平分线上的每一点，和线段两个端点的距离相等；反过来，和线段两个端点的距离相等的点，都在这条线段的垂直平分线上.所以有下面的轨迹： ②和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是这条线段的垂直平分线. 由角平分线性质定理和它的逆定理，同样可以得到另一个轨迹： ③到已知角的两边距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线. （二）直线与圆、圆与圆的