专题09 正弦定理与余弦定理的综合应用-名师揭秘2020年高考数学(理)一轮总复习之三角函数、三角形、平面向量

专题09正弦定理与余弦定理的综合应用 一、本专题要特别小心： 1.解三角形时的分类讨论（锐角钝角之分） 2. 边角互化的选取 3. 正余弦定理的选取 4.三角形中的中线问题 5.三角形中的角平分性问题 6.多个三角形问题 二．【学习目标】 掌握正、余弦定理，能利用这两个定理及面积计算公式解斜三角形，培养运算求解能力． 三．【方法总结】 1.利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题： (1)已知两角和任一边，求其他两边和一角； (2)已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角(从而进一步求出其他的边和角). 2.由正弦定理容易得到：在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即A＞B⇔a＞b⇔sin A＞sin B. 3.已知三角形两边及其一边的对角解三角形时，利用正弦定理求解时，要注意判断三角形解的情况(存在两解、一解和无解三种可能).而解的情况确定的一般方法是“大边对大角且三角形钝角至多一个”. 4.利用余弦定理，可以解决以下三类有关三角形的问题： (1)已知三边，求三个角； (2)已知两边和它们的夹角，求第三边和其余角； (3)已知两边和其中一边的对角，求其他边和角. (4)由余弦值确定角的大小时，一定要依据角的范围及函数值的正负确定. 四．【题型方法】 （一）三角形中角的范围问题 例1. 在中，，，则的最大值为　　 A． B． C． D． 练习1. 在锐角三角形 中，角 的对边分别为 ，若 ，则 的最小值是_______． 练习2.设的内角的对边分别为，其外接圆的直径为1, ，且角为钝角. （1）求的值； （2）求的取值范围． （二）正余弦定理与三角形面积综合 例2. 在中，为的外心，若，其中.则点的轨迹所对应图形的面积是__________． 练习1. 在 中，内角 的对边分别为 ，且 ， . （1）求 ； （2）点 在 边上，且 ， ，求 . 练习2. 如图，在平面四边形中， ， ， . （1）求对角线 的长； （2）若四边形 是圆的内接四边形，求 面积的最大值. （三）三角形问题中的数形结合 例3.中，三内角的对边分别为，且满足，，是以为直径的圆上一点，则的最大值为_____． 练习1．已知平面上有四点O，A，B，C，向量满足： ，则△ABC的周长是(　　) A．3 B．9 C．3 D．6 （四）判断三角形的形状 例4. 在 中， ，则 一定是（ ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 练习1. 中， ， ，则 一定是 （ ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形 练习2.在 中，角 ， ， 所对的边的长分别为 ， ， ，若 ，则 的形状是（ ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．正三角形 练习3．在 中，A，B，C的对边分别为a，b，c， ，则 的形状一定是( ) A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 （五）三角形中边的范围问题 例5. 已知 中 ，角 的对边分别为 ． （1）若 依次成等差数列，且公差为2，求 的值； （2）若 的外接圆面积为 ，求 周长的最大值． 练习1.．在 中， 分别是角 的对边， ， 且 （1）求角 的大小； （2）若 ，求 的取值范围 练习2. 在 中，角 的对边分别为 ，点 为边 的中点，若 ，且满足 （I）求 ； （II）若 ，求 的周长的最大值． 练习3. 已知 的三个内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，若 . （1）求角 的大小； （2）若 ，求 的最大值. （六）三角形应用题 例6. 如图为一块边长为2km的等边三角形地块ABC，为响应国家号召，现对这块地进行绿化改造，计划从BC的中点D出发引出两条成60°角的线段DE和DF，与AB和AC围成四边形区域AEDF，在该区域内种上草坪，其余区域修建成停车场，设∠BDE＝ ． （1）当 ＝60°时，求绿化面积； （2）试求地块的绿化面积 的取值范围． 练习1．如图，在等腰梯形 中， ， ， ， ，梯形 的高为 ， 是 的中点，分别以 为圆心， ， 为半径作两条圆弧，交 于 两点. （1）求 的度数； （2）设图中阴影部分为区域 ，求区域 的面积. 练习2．如图， ， 是海面上位于东西方向相海距 里的两个观测点，现位于 点北偏东 ， 点北偏西 的 点有一艘轮船发出求救信号，位于 点南偏西 且与 点相距 海里的 点的救援船立即前往营救，其航行速度为24海里/小时． （Ⅰ）求 的长； （Ⅱ）该救援船到达 点所需的时间． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ $$ 专题09正弦定理与余弦定理的综合应用 一、本专题要特别小心： 1.解