1.2.2 第2课时 分段函数及映射（课件+word）-【步步高】2019版学案导学与随堂笔记数学（人教A版必修1）浙江专用

第2课时　分段函数及映射 学习目标　1.会用解析法及图象法表示分段函数.2.给出分段函数，能研究有关性质.3.了解映射的概念． 知识点一　分段函数 思考　集合A＝R，B＝，A中的有理数都对应B中的元素0，无理数都对应B中的元素1，这一对应是函数吗？ 答案　是，因为符合函数定义． 梳理　(1)一般地，分段函数就是在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的对应关系的函数． (2)分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集；各段函数的定义域的交集是空集． (3)作分段函数图象时，应分别作出每一段的图象． 知识点二　映　射 思考　设A＝{三角形}，B＝R，对应关系f：每个三角形对应它的周长．这个对应是不是函数？它与函数有何共同点？ 答案　因为A不是非空数集，故该对应不是函数．但仍满足“A中任一元素，在B中有唯一确定的元素与之对应”． 梳理　映射的概念 设A，B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射． 函数一定是映射，映射不一定是函数． 1．分段函数各段上的自变量的取值范围的并集为R.(×) 2．分段函数各段上的函数值集合的交集为∅.(×) 3．分段函数的图象一定是不连续的．(×) 4．如果把“函数”和“映射”当成两个集合A，B，则AB.(√) 类型一　建立分段函数模型 例1　如图所示，已知底角为45°的等腰梯形ABCD，底边BC长为7，腰长为2，当垂直于底边BC(垂足为F)的直线l从左至右移动(与梯形ABCD有公共点)时，直线l把梯形分成两部分，令BF＝x，试写出左边部分的面积y关于x的函数解析式，并画出大致图象． [来源:Z,xx,k.Com] 考点　分段函数 题点　求分段函数解析式 解　过点A，D分别作AG⊥BC，DH⊥BC，垂足分别是G，H. 因为四边形ABCD是等腰梯形，底角为45°，AB＝2， 所以BG＝AG＝DH＝HC＝2， 又BC＝7，所以AD＝GH＝3. (1)当点F在BG上，即x∈[0,2]时，y＝x2； (2)当点F在GH上，即x∈(2,5]时， y＝×2＝2x－2； (3)当点F在HC上，即x∈(5,7]时，y＝S五边形ABFED＝S梯形ABCD－SRt△CEF＝(7＋3)×2－(7－x)2 ＝－×(x－7)2＋10. 综合(1)(2)(3)，得函数的解析式为y＝ 图象如图所示： 反思与感悟　当目标在不同区间有不同的解析表达方式时，往往需要用分段函数模型来表示两变量间的对应关系，而分段函数图象也需要分段画． 跟踪训练1　某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定： (1)5公里以内(含5公里)，票价2元； (2)5公里以上，每增加5公里，票价增加1元(不足5公里按照5公里计算)． 如果某条线路的总里程为20公里，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图象． 考点　分段函数 题点　分段函数应用问题 解　设票价为y元，里程为x公里，定义域为(0,20]． 由题意得函数的解析式为y＝ 函数图象如图所示： 类型二　研究分段函数的性质 命题角度1　给x求y 例2　已知函数f(x)＝试求f(－5)，f(－)，f 的值． 考点　分段函数 题点　分段函数求值 解　∵－5∈(－∞，－2]，∴f(－5)＝－5＋1＝－4. ∵－∈(－2,2)， ∴f(－)＝(－)2＋2×(－)＝3－2. ∵－∈(－∞，－2]， ∴f ＝－＋1＝－∈(－2,2)， ∴f ＝f ＝2＋2× ＝－. 引申探究　 本例中f(x)的解析式不变，若x≥－5，求f(x)的取值范围． 解　当－5≤x≤－2时，f(x)＝x＋1∈[－4，－1]； 当－2<x<2时，f(x)＝x2＋2x＝(x＋1)2－1∈[－1,8)； 当x≥2时，f(x)＝2x－1∈[3，＋∞)； ∴当x≥－5时，f(x)∈[－4，－1]∪[－1,8)∪[3，＋∞)＝[－4，＋∞)． 反思与感悟　分段函数求函数值的方法 (1)确定要求值的自变量属于哪一区间； (2)代入该段的解析式求值，直到求出值为止．当出现f(f(x0))的形式时，应从内到外依次求值． 跟踪训练2　已知函数f(x)＝ (1)求f(f(f(5)))的值； (2)画出函数f(x)的图象． 考点　分段函数 题点　分段函数求值 解　(1)因为5>4，所以f(5)＝－5＋2＝－3. 因为－3<0，所以f(f(5))＝f(－3)＝－3＋4＝1. 因为0<1≤4， 所以f(f(f(5)))＝f(1)＝12－2×1＝－1. (2)f(x)的图象如下： 命题角度2　给y求x 例3　已知函数f(x)＝ (1)若f(x0)＝8，求x0的值； (2)解不等式f(x)