1.3.1 第2课时 函数的最大(小)值（课件+word）-【步步高】2019版学案导学与随堂笔记数学（人教A版必修1）浙江专用

第2课时　函数的最大(小)值 学习目标　1.理解函数的最大(小)值的概念及其几何意义.2.会借助单调性求最值.3.掌握求二次函数在闭区间上的最值． 知识点一　函数的最大(小)值 思考　在下图表示的函数中，最大的函数值和最小的函数值分别是多少？1为什么不是最小值？ 答案　最大的函数值为4，最小的函数值为2.1没有A中的元素与之对应，不是函数值． 梳理　一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I.如果存在实数M满足：(1)对于任意x∈I，都有f(x)≤M.(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M.那么，称M是函数y＝f(x)的最大值． 如果存在实数M满足：(1)对于任意x∈I，都有f(x)≥M.(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M.那么，称M是函数y＝f(x)的最小值． 知识点二　函数的最大(小)值的几何意义 思考　函数y＝x2，x∈[－1,1]的图象如下： 试指出函数的最大值、最小值和相应的x的值． 答案　当x＝±1时，y有最大值1，对应的点是图象中的最高点，当x＝0时，y有最小值0，对应的点为图象中的最低点． 梳理　一般地，函数最大值对应图象中的最高点，最小值对应图象中的最低点，它们不一定只有一个． 1．因为f(x)＝x2＋1≥0恒成立，所以f(x)的最小值为0.(×) 2．f(x)＝(x>0)的最小值为0.(×) 3．函数f(x)取最大值时，对应的x可能有无限多个．(√) 4．如果f(x)的最大值、最小值分别为M，m，则f(x)的值域为[m，M]．(×) 类型一　借助单调性求最值 例1　已知函数f(x)＝(x>0). (1)求证：f(x)在(0,1]上为增函数； (2)求函数f(x)的最大值和最小值． 考点　函数的最值及其几何意义 题点　由函数单调性求最值 (1)证明　设x1，x2是区间(0，＋∞)上的任意两个实数，且x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝－ ＝＝. 当0<x1<x2≤1时，x2－x1>0，x1x2－1<0， ∴f(x1)－f(x2)<0，f(x1)<f(x2)， ∴f(x)在(0,1]上单调递增． (2)解　当1≤x1<x2时，x2－x1>0，x1x2－1>0， f(x1)－f(x2)>0，f(x1)>f(x2)， ∴f(x)在[1，＋∞)上单调递减． ∴结合(1)(2)可知，f(x)max＝f(1)＝，无最小值． 反思与感悟　(1)若函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递增，则f(x)的最大值为f(b)，最小值为f(a)． (2)若函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递减，则f(x)的最大值为f(a)，最小值为f(b)． (3)若函数y＝f(x)有多个单调区间，那就先求出各区间上的最值，再从各区间的最值中决出最大(小)值．函数的最大(小)值是整个值域范围内的最大(小)值． (4)如果函数定义域为开区间，则不但要考虑函数在该区间上的单调性，还要考虑端点处的函数值或者发展趋势． 跟踪训练1　已知函数f(x)＝(x∈[2,6])，求函数的最大值和最小值． 考点　函数的最值及其几何意义 题点　由函数单调性求最值 解　设x1，x2是区间[2,6]上的任意两个实数，且x1<x2， 则f(x1)－f(x2)＝－ ＝ ＝. 由2≤x1<x2≤6， 得x2－x1>0，(x1－1)(x2－1)>0， 于是f(x1)－f(x2)>0， 即f(x1)>f(x2)． 所以，函数f(x)＝在区间[2,6]上是减函数． 因此，函数f(x)＝在区间[2,6]的两个端点处分别取得最大值与最小值， 即在x＝2时取得最大值，最大值是2， 在x＝6时取得最小值，最小值是. 类型二　求二次函数的最值 例2　(1)已知函数f(x)＝x2－2x－3，若x∈[0,2]，求函数f(x)的最值； (2)已知函数f(x)＝x2－2x－3，若x∈[t，t＋2]，求函数f(x)的最值； (3)已知函数f(x)＝x－2－3，求函数f(x)的最值． 考点　函数的最值及其几何意义 题点　二次函数最值 解　(1)∵函数f(x)＝x2－2x－3开口向上，对称轴x＝1， ∴f(x)在[0,1]上单调递减，在[1,2]上单调递增，且f(0)＝f(2)． ∴f(x)max＝f(0)＝f(2)＝－3，f(x)min＝f(1)＝－4. (2)∵对称轴x＝1，[来源:学科网ZXXK] ①当1≥t＋2即t≤－1时， f(x)max＝f(t)＝t2－2t－3， f(x)min＝f(t＋2)＝(t＋2)2－2(t＋2)－3＝t2＋2t－3.[来源:学科网] ②当≤1<t＋2，即－1<t≤0时， f(x)max＝f(t)＝t2－2t－3， f(x)min＝f(1)＝－4. ③当t≤1<，即0<t≤1时， f(x)max＝f(t＋2)＝t2＋2t－3， f(x)min＝f(1)＝－4. ④