1.3.2 第2课时 奇偶性的应用（课件+word）-【步步高】2019版学案导学与随堂笔记数学（人教A版必修1）浙江专用

第2课时　奇偶性的应用 学习目标　1.掌握用奇偶性求解析式的方法.2.理解奇偶性对单调性的影响并能用以解不等式.3.了解函数的奇偶性的推广——对称性． 知识点一　用奇偶性求解析式 如果已知函数的奇偶性和一个区间[a，b]上的解析式，想求关于原点的对称区间[－b，－a]上的解析式，其解决思路为： (1)“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，x就应在哪个区间上设． (2)要利用已知区间的解析式进行代入． (3)利用f(x)的奇偶性写出－f(x)或f(－x)，从而解出f(x)． 特别提醒：若函数f(x)的定义域内含0且为奇函数，则必有f(0)＝0，但若为偶函数，未必有f(0)＝0. 知识点二　奇偶性与单调性 思考　观察偶函数y＝x2与奇函数y＝在(－∞，0)和(0，＋∞)上的单调性，你有何猜想？ 答案　偶函数y＝x2在(－∞，0)和(0，＋∞)上的单调性相反；奇函数y＝在(－∞，0)和(0，＋∞)上的单调性相同． 梳理　一般地，若函数f(x)为奇函数，则f(x)在关于原点对称的两个区间[a，b]和[－b，－a]上具有相同的单调性；若函数f(x)为偶函数，则f(x)在关于原点对称的两个区间[a，b]和[－b，－a]上具有相反的单调性． 知识点三　奇偶性的推广 一般地，对于定义域内任意x， (1)若f(a－x)＝2b－f(a＋x)，则f(x)的图象关于点(a，b)对称．当a＝b＝0时，即为奇函数的定义． (2)若f(a－x)＝f(a＋x)，则f(x)的图象关于直线x＝a对称，当a＝0时，即为偶函数的定义． 1．奇函数f(x)＝，当x>0时的解析式与x<0时的解析式相同，所以一般的奇函数在(0，＋∞)上的解析式与(－∞，0)上的解析式也相同．(×) 2．对于偶函数f(x)，恒有f(x)＝f(|x|)．(√) 3．若存在x0使f(1－x0)＝f(1＋x0)，则f(x)关于直线x＝1对称．(×) 4．对于定义域内任意x，有f(1－x)＝f(1＋x)，则y＝f(1－x)与y＝f(1＋x)关于直线x＝1对称．(×) 类型一　用奇偶性求解析式 命题角度1　已知区间[a，b]上的解析式，求[－b，－a]上的解析式 例1　函数f(x)是定义域为R的奇函数，当x>0时，f(x)＝－x＋1，求当x<0时，f(x)的解析式． 考点　函数奇偶性的应用 题点　利用奇偶性求函数的解析式 解　设x<0，则－x>0， ∴f(－x)＝－(－x)＋1＝x＋1， 又∵函数f(x)是定义域为R的奇函数， ∴f(－x)＝－f(x)＝x＋1， ∴当x<0时，f(x)＝－x－1. 反思与感悟　求给定哪个区间的解析式就设这个区间上的变量为x，然后把x转化为－x，此时－x成为了已知区间上的解析式中的变量，通过应用奇函数或偶函数的定义，适当推导，即可得所求区间上的解析式． 跟踪训练1　已知y＝f(x)是定义在 R上的奇函数，且当x>0时，f(x)＝2x－x2，求y＝f(x)的解析式． 考点　函数奇偶性的应用 题点　利用奇偶性求函数的解析式 解　设x<0，则－x>0，因为f(x)是奇函数， 所以当x<0时， f(x)＝－f(－x)＝－[2(－x)－(－x)2]＝2x＋x2. 因为y＝f(x)是R上的奇函数，所以f(0)＝0. 所以f(x)＝ 命题角度2　已知一奇一偶两函数之和，求这两个函数的解析式 例2　设f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝，求函数f(x)，g(x)的解析式．[来源:学。科。网] 考点　函数奇偶性的应用 题点　利用奇偶性求函数的解析式 解　∵f(x)是偶函数，g(x)是奇函数， ∴f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)， 由f(x)＋g(x)＝.① 用－x代替x， 得f(－x)＋g(－x)＝， ∴f(x)－g(x)＝，② (①＋②)÷2，得f(x)＝； (①－②)÷2，得g(x)＝. 反思与感悟　f(x)＋g(x)＝对定义域内任意x都成立，所以可以对x任意赋值，如x＝－x. 因为f(x)，g(x)一奇一偶，才能把－x的负号或提或消，最终得到关于f(x)，g(x)的二元方程组，从中解出f(x)和g(x)． 跟踪训练2　设f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝x2＋2x，求函数f(x)，g(x)的解析式． 考点　函数奇偶性的应用 题点　利用奇偶性求函数的解析式 解　∵f(x)是偶函数，g(x)是奇函数， ∴f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)， 由f(x)＋g(x)＝2x＋x2.① 用－x代替x， 得f(－x)＋g(－x)＝－2x＋(－x)2， ∴f(x)－g(x)＝－2x＋x2，② (①＋②)÷2，得f(x)＝x2； (①－②)÷2，得g(x)＝2x. 类型二　奇偶性对单调性的影响 命题角度1　由x的取值情况推导f