2.1.2（一） 指数函数及其性质（课件+word）-【步步高】2019版学案导学与随堂笔记数学（人教A版必修1）浙江专用

2.1.2　指数函数及其性质(一) 学习目标　1.理解指数函数的概念，了解对底数的限制条件的合理性.2.掌握指数函数图象的性质.3.会应用指数函数的性质求复合函数的定义域、值域． 知识点一　指数函数 思考　细胞分裂时，第一次由1个分裂成2个，第2次由2个分裂成4个，第3次由4个分裂成8个，如此下去，如果第x次分裂得到y个细胞，那么细胞个数y与次数x的函数关系式是什么？这个函数式与y＝x2有什么不同？ 答案　y＝2x.它的底为常数，自变量为指数，而y＝x2恰好反过来．[来源:学科网ZXXK] 梳理　一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R. 特别提醒：(1)规定y＝ax中a>0，且a≠1的理由： ①当a≤0时，ax可能无意义；②当a>0时，x可以取任何实数；③当a＝1时，ax＝1 (x∈R)，无研究价值．因此规定y＝ax中a>0，且a≠1. (2)要注意指数函数的解析式：①底数是大于0且不等于1的常数．②指数函数的自变量必须位于指数的位置上．③ax的系数必须为1.④指数函数等号右边不能是多项式，如y＝2x＋1不是指数函数． 知识点二　指数函数的图象和性质 指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象和性质如下表： a>1 0<a<1 图象 定义域 R 值域 (0，＋∞) 性质 过定点 过定点(0,1)，即x＝0时，y＝1 函数值的变化 当x>0时，y>1； 当x<0时，0<y<1 当x>0时，0<y<1； 当x<0时，y>1 单调性 在R上是增函数 在R上是减函数 1．y＝xx(x>0)是指数函数．(　×　) 2．y＝ax＋2(a>0且a≠1)是指数函数．(　×　) 3．因为a0＝1(a>0且a≠1)，所以y＝ax恒过点(0,1)．(　√　) 4．y＝ax(a>0且a≠1)的最小值为0.(　×　) 类型一　求指数函数的解析式 例1　已知指数函数f(x)的图象过点(3，π)，求函数f(x)的解析式． 考点　待定系数法求指数函数解析式 题点　待定系数法求指数函数解析式 解　设f(x)＝ax(a>0，且a≠1)，将点(3，π)代入， 得到f(3)＝π， 即a3＝π，解得a＝，于是f(x)＝. 反思与感悟　(1)根据指数函数的定义，a是一个常数，ax的系数为1，且a>0，a≠1，凡是不符合这个要求的都不是指数函数． (2)要求指数函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)的解析式，只需要求出a的值，要求a的值，只需一个已知条件即可． 跟踪训练1　已知指数函数y＝(2b－3)ax经过点(1,2)，求a，b的值． 考点　待定系数法求指数函数解析式 题点　待定系数法求指数函数解析式 解　由指数函数的定义可知2b－3＝1，即b＝2. 将点(1,2)代入y＝ax，得a＝2. 类型二　求指数函数与其他函数复合所得函数的定义域、值域 命题角度1　fax型 例2　求下列函数的定义域、值域． (1)y＝；(2)y＝4x－2x＋1. 考点　指数函数的值域 题点　指数型复合函数的值域 解　(1)函数的定义域为R(∵对一切x∈R,3x≠－1)． ∵y＝＝1－， 又∵3x>0,1＋3x>1， ∴0<<1，∴－1<－<0， ∴0<1－<1，∴值域为(0,1)． (2)函数的定义域为R， y＝(2x)2－2x＋1＝2＋， ∵2x>0，∴2x＝，即x＝－1时，y取最小值， 同时y可以取一切大于的实数， ∴值域为. 反思与感悟　解决此类题可采用换元法，利用二次函数与指数函数的性质求解． 跟踪训练2　求下列函数的定义域与值域． (1)y＝； (2)y＝(a>0，且a≠1)． 考点　指数函数的值域 题点　指数型复合函数的值域 解　(1)∵1－x≥0，∴x≤1，解得x≥0， ∴原函数的定义域为[0，＋∞)． 令t＝1－x (x≥0)，则0≤t<1，∴0≤<1， ∴原函数的值域为[0,1)． (2)原函数的定义域为R. 方法一　设ax＝t，则t∈(0，＋∞)， y＝＝＝1－. ∵t>0，∴t＋1>1， ∴0<<1，∴－2<<0， ∴－1<1－<1. 即原函数的值域为(－1,1)． 方法二　由y＝(a>0，且a≠1)，得ax＝－. ∵ax>0，∴－>0，∴－1<y<1. ∴原函数的值域是(－1,1)． 命题角度2　afx型 例3　求函数y＝ 的定义域、值域． 考点　指数函数的值域 题点　指数型复合函数的值域 解　要使函数有意义， 则x应满足32x－1－≥0， 即32x－1≥3－2. ∵y＝3x在R上是增函数， ∴2x－1≥－2，解得x≥－. 故所求函数的定义域为. 当x∈时，32x－1∈. ∴32x－1－∈[0，＋∞)． ∴原函数的值域为[0，＋∞)． 反思与感悟　y＝af(x)的定