专题11 一元二次函数的最值问题-2019年初高中数学无忧衔接精品课程

专题11 一元二次函数的最值问题 一、知识点精讲 1．二次函数 的最值． 二次函数在自变量 取任意实数时的最值情况(当 时，函数在 处取得最小值 ，无最大值；当 时，函数在 处取得最大值 ，无最小值． 2．二次函数最大值或最小值的求法． 第一步确定a的符号，a＞0有最小值，a＜0有最大值； 第二步配方求顶点，顶点的纵坐标即为对应的最大值或最小值． 3．求二次函数在某一范围内的最值． 如： 在 （其中 ）的最值． 第一步：先通过配方，求出函数图象的对称轴： ； 第二步：讨论： [1]若 时求最小值或 时求最大值，需分三种情况讨论： ①对称轴小于 即 ，即对称轴在 的左侧； ②对称轴 ，即对称轴在 的内部； ③对称轴大于 即 ，即对称轴在 的右侧。 [2] 若 时求最大值或 时求最小值，需分两种情况讨论： ①对称轴 ，即对称轴在 的中点的左侧； ②对称轴 ，即对称轴在 的中点的右侧； 说明：求二次函数在某一范围内的最值，要注意对称轴与自变量的取值范围相应位置，具体情况。 二、典例精析 【典例1】求下列函数的最大值或最小值． （1）； （2）． 【典例2】当 时，求函数 的最大值和最小值． 【说明】：二次函数在自变量 的给定范围内，对应的图象是抛物线上的一段．那么最高点的纵坐标即为函数的最大值，最低点的纵坐标即为函数的最小值． 根据二次函数对称轴的位置，函数在所给自变量 的范围的图象形状各异．下面给出一些常见情况： 【典例3】当 时，求函数 的取值范围． 【典例4】当 时，求函数 的最小值(其中 为常数)． 【典例5】某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现这种商品每天的销售量 (件)与每件的销售价 (元)满足一次函数 ． (1) 写出商场卖这种商品每天的销售利润 与每件销售价 之间的函数关系式； (2) 若商场要想每天获得最大销售利润，每件商品的售价定为多少最合适？最大销售利润为多少？ 三、对点精练 1．抛物线 ，当 = _____ 时，图象的顶点在 轴上；当 = _____ 时，图象的顶点在 轴上；当 = _____ 时，图象过原点． 2．用一长度为 米的铁丝围成一个长方形或正方形，则其所围成的最大面积为 ________ ． 3．设 ，当 时，函数 的最小值是 ，最大值是0，求 的值． 4．已知函数 在 上的最大值为4，求 的值． 5．求关于 的二次函数 在 上的最大值( 为常数)． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ $$ 专题11 一元二次函数的最值问题 一、知识点精讲 1．二次函数 的最值． 二次函数在自变量 取任意实数时的最值情况(当 时，函数在 处取得最小值 ，无最大值；当 时，函数在 处取得最大值 ，无最小值． 2．二次函数最大值或最小值的求法． 第一步确定a的符号，a＞0有最小值，a＜0有最大值； 第二步配方求顶点，顶点的纵坐标即为对应的最大值或最小值． 3．求二次函数在某一范围内的最值． 如： 在 （其中 ）的最值． 第一步：先通过配方，求出函数图象的对称轴： ； 第二步：讨论： [1]若 时求最小值或 时求最大值，需分三种情况讨论： ①对称轴小于 即 ，即对称轴在 的左侧； ②对称轴 ，即对称轴在 的内部； ③对称轴大于 即 ，即对称轴在 的右侧。 [2] 若 时求最大值或 时求最小值，需分两种情况讨论： ①对称轴 ，即对称轴在 的中点的左侧； ②对称轴 ，即对称轴在 的中点的右侧； 说明：求二次函数在某一范围内的最值，要注意对称轴与自变量的取值范围相应位置，具体情况。 二、典例精析 【典例1】求下列函数的最大值或最小值． （1）； （2）． 【答案】见解析 【分析】：由于函数和的自变量x的取值范围是全体实数，所以只要确定它们的图象有最高点或最低点，就可以确定函数有最大值或最小值． 【解析】：（1）因为二次函数中的二次项系数2＞0，所以抛物线有最低点，即函数有最小值．因为=，所以当时，函数有最小值是． （2）因为二次函数中的二次项系数-1＜0，所以抛物线有最高点，即函数有最大值．因为=，所以当时，函数有最大值 【典例2】当 时，求函数 的最大值和最小值． 【答案】见解析 【解析】： 作出函数的图象．当 时， ，当 时， ． 【说明】：二次函数在自变量 的给定范围内，对应的图象是抛物线上的一段．那么最高点的纵坐标即为函数的最大值，最低点的纵坐标即为函数的最小值． 根据二次函数对称轴的位置，函数在所给自变量 的范围的图象形状各异．下面给出一些常见情况： 【典例3】当 时，求函数 的取值范围． 【答案】见解析 【解析】： 作出函数 在 内的图象． 可以看出：当 时， ，无最大值．所以，当 时，函数的取值范围是 ． 【典例4】当 时，求函数 的最小值(其中 为常数)