专题05 一元二次方程（一）-2019年初高中数学无忧衔接精品课程

专题05 一元二次方程（一） 一、知识点精讲 （一）一元二次方程根的判别式 我们知道，对于一元二次方程 ，用配方法可以将其变形为 ． ① 因为 ，所以， ＞0．于是 （1）当 时，方程①的右端是一个正数，因此，原方程有两个不相等的实数根 ； （2）当 时，方程①的右端为零，因此，原方程有两个等的实数根 ； （3）当 时，方程①的右端是一个负数，而方程①的左边 一定大于或等于零，因此，原方程没有实数根． 由此可知，一元二次方程 的根的情况可以由 来判定，我们把 叫做一元二次方程 的根的判别式，通常用符号“Δ”来表示． 综上所述，对于一元二次方程 有 （1）当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根 ； （2）当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根 （3）当Δ＜0时，方程没有实数根． 二、典例精析 【典例1】不解方程，判断下列方程的实数根的个数. (1) (2) (3) 【典例2】用求根公式求解下列方程的根。 (1) (2) 【典例3】已知关于 的一元二次方程 ，根据下列条件，分别求出 的范围。 (1)方程有两个不相等的实根 (2) 方程有两个相等的实根 (3) 方程有实根 (4) 方程无实根 【典例4】已知方程 ，有实数根，求函数 的取值范围。 【典例5】已知方程 有两个相等的实数根且方程 有两个不相等的实数根，化简 （二）一元二次方程的根与系数的关系 若一元二次方程 有两个实数根 ， ， 则有 ； ． 所以，一元二次方程 的根与系数之间存在下列关系： 如果 的两根分别是 ，那么 ， ．这一关系也被称为韦达定理． 特别地，对于二次项系数为1的一元二次方程 ，若其两根为 ，由韦达定理可知 ， ，即 ， 所以，方程 可化为 由于 是一元二次方程 的两根，所以 也是一元二次方程 的两根．因此有以 两个数为根的一元二次方程（二次项系数为1）是 ． 特别说明：利用根与系数求值需要熟练掌握以下等式的变形（★★★★★） ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ 【典例6】若 是方程 的两根，试求下列各式的值。 ① ② ③ ④ 【典例7】已知方程 ，根据下列条件，分别求出 的范围。 ①两根都大于0， ②两根都小于0， ③一根大于0，另一根小于0. (三) 对点精练 1.一元二次方程 有两个不相等的实数根,则 的取值范围是____________ 2.若 是方程 的两根，则 ________________ 3.如果方程 的两根相等，则 之间的关系是____________ 4.若一个直角三角形的两条直角边的长是方程 的两根，则这个直角三角形的斜边长为_________________. 5. 已知关于 的一元二次方程 ，根据下列条件，分别求出 的范围。 (1)方程有两个不相等的实根 (2)方程有两个相等的实根 (3)方程有实根 (4)方程无实根 6.求证：方程 有两个不相等的实根. 7. 求证：无论 取怎样的实数， 的值不可能等于10. 8. 若 是方程 的两根，试求下列各式的值。 ① ② ③ ④ 9. (1)如果 是方程 的一个根，求该方程的另一个根及 的值. (2)如果 是方程 的一个根，求该方程的另一个根及 的值. 10. 已知关于 的一元二次方程 有两个不相等的实根 . （1）求 的取值范围 （2）是否存在实数 ，使得方程的两实数根互为相反数，若存在，求出 的值，若不存在，说明理由？ 11. 已知：关于 的一元二次方程 （1）求证：无论 取怎样的实数，方程总有两个不相等的实根。 （2）若方程的两根为 ，且 ，求 的值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ $$ 专题05 一元二次方程（一） 一、知识点精讲 （一）一元二次方程根的判别式 我们知道，对于一元二次方程 ，用配方法可以将其变形为 ． ① 因为 ，所以， ＞0．于是 （1）当 时，方程①的右端是一个正数，因此，原方程有两个不相等的实数根 ； （2）当 时，方程①的右端为零，因此，原方程有两个等的实数根 ； （3）当 时，方程①的右端是一个负数，而方程①的左边 一定大于或等于零，因此，原方程没有实数根． 由此可知，一元二次方程 的根的情况可以由 来判定，我们把 叫做一元二次方程 的根的判别式，通常用符号“Δ”来表示． 综上所述，对于一元二次方程 有 （1）当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根 ； （2）当