专题13 导数的概念及运算-名师揭秘2020年高考数学（理）一轮总复习之集合函数导数

专题13导数的概念及运算 一．本专题特别注意： 1.在某点处的切线方程 2.过某点的切线方程 3.与切线有关的最值问题 4.导数的物理意义 5.导数与反函数综合 6.导数的几何意义综合 7.分段函数的导数几何意义问题 二．【学习目标】 1．了解导数概念的实际背景． 2．理解导数的意义及几何意义． 3．能根据导数定义求函数y＝C(C为常数)，y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝的导数． ，y＝ 4．能利用基本初等函数的导数公式及导数运算法则进行某些函数的求导． 三．【知识要点】 1．平均变化率及瞬时变化率 (1)函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率用. ＝表示，且 (2)函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是： . ＝ 2．导数的概念 (1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数就是函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝ . (2)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)是一个确定的数，当x变化时，f′(x)是x的一个函数，称f′(x)为f(x)的导函数(简称导数)，即f′(x)＝ . 3．导数的几何意义和物理意义 几何意义：函数y＝f(x)在x＝x0处的导数就是曲线y＝f(x)上点处切线的斜率k，即k＝；切线方程为． 物理意义：若物体位移随时间变化的关系为s＝f(t)，则f′(t0)是物体运动在t＝t0时刻的瞬时速度 4．基本初等函数的导数公式 (1)常用函数的导数 ①(C)′＝0(C为常数); ②(x)′＝1；③(x2)′＝2x； ④)′＝． ′＝；⑤( (2)初等函数的导数公式 ①(xn)′＝________； ②(sin x)′＝__________； ③(cos x)′＝________； ④(ex)′＝________； ⑤(ax)′＝___________； ⑥(ln x)′＝________； ⑦(logax)′＝__________． 5．导数的运算法则 (1)[f(x)±g(x)]′＝________________________； (2)[f(x)·g(x)]′＝_________________________； (3)′＝____________________________． 6．复合函数的导数 (1)对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过变量u，y可以表示成x的函数，那么称这两个函数(函数y＝f(u)和u＝g(x))的复合函数为y＝f(g(x))． (2)复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为___________________，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积． 四．【方法题型规律】 （一）瞬时变化率 例1.已知，则（ ） A． B． C． D． 练习1．已知函数的导函数为，且满足，则（ ） A． B． C． D． 练习2．设函数f(x)在x=1处存在导数为2,则=( ) A．2 B．1 C． D．6 （二）导数运算 例2．已知函数，则（ ） A．0 B． C．200 D． 练习1．如图，点A(2,1)，B(3,0)，E(x,0)(x≥0)，过点E作OB的垂线l.记△AOB在直线l左侧部分的面积为S，则函数S＝f(x)的图象为下图中的(　　) A． B． C． D． 练习2．已知函数，对任意不等实数，不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． （三）在曲线上点的切线方程 例3.设函数． （Ⅰ）若曲线在点处的切线与直线平行，求； （Ⅱ）若在处取得极大值，求的取值范围． 练习1．曲线在点处的切线与直线垂直，则________. 练习2．已知函数 （1）求函数在点处的切线方程； （2）若在时恒成立，求的取值范围。 （四）曲线的切线方程过点 例4.已知过点作曲线的切线有且仅有两条，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 练习1．已知曲线，则过点，且与曲线相切的直线方程为 A．或 B．或 C．或 D．或 练习2．已知过点P作曲线y＝x3的切线有且仅有两条，则点P的坐标可能是(　　) A．(0,1) B．(0,0) C．(1,1) D．(－2，－1) 练习3．过点A(2,1)作曲线的切线最多有(　　) A．3条 B．2条 C．1条 D．0条 （五）导数与其它知识综合 例5.已知函数和 （1）若是的导函数，求的值 （2）当时，不等式恒成立，其中是导函数,求正整数的最大值. 练习1．设，，，…，，，则( ) A． B． C． D． 练习2．若函数，则等于______