专题02 数和式的运算之比例、齐次式与二次根式-2019年初高中数学无忧衔接精品课程

专题02 数和式的运算之比例、齐次式与二次根式 一、知识点精讲 （一）比例与齐次式 我们在式的运算中,常常会碰到比例关系或齐次等式、齐次分式,这就要求我们掌握比例关系具有哪些性质和它的一般转化方向;齐次式常常会同除以某一个数,转化过程在本质上起到消元作用,从而会出现整体思想. 二、典例精析 【典例1】已知三角形的三边长之比为3∶4∶5.求证:此三角形为直角三角形. 【典例2】 已知△ABC 中,有 ,求证： 【典例3】已知 求证：（1） （2） （3） 【典例4】已知： ,且 ，求 【典例5】已知： ，求 的值. 【典例6】已知 （1）求 的值 （2）求证： （二）二次根式 　　一般地，形如 的代数式叫做二次根式．根号下含有字母、且不能够开得尽方的式子称为无理式. 例如 ， 等是无理式，而 ， ， 等是有理式． 1．分母（子）有理化 把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化．为了进行分母（子）有理化，需要引入有理化因式的概念．两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，例如 与 ， 与 ， 与 ， 与 ，等等． 一般地， 与 ， 与 ， 与 互为有理化因式． 分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程 在二次根式的化简与运算过程中，二次根式的乘法可参照多项式乘法进行，运算中要运用公式 ；而对于二次根式的除法，通常先写成分式的形式，然后通过分母有理化进行运算；二次根式的加减法与多项式的加减法类似，应在化简的基础上去括号与合并同类二次根式． 2．二次根式 的意义 （1） EMBED Equation.DSMT4 （2） （3） （4） 【典例7】将下列式子化为最简二次根式： （1） ； （2） ； （3） ． 【典例8】　计算： ． 【典例9】　试比较下列各组数的大小： （1） 和 ； （2） 和 . 【典例10】化简： ． 【典例11】 化简：（1） ； （2） ． 【典例12】 已知 ，求 的值 ． 【典例13】化简： 三、对点精练 1.已知: ,则 ​​​__________________. 2.若 则 ___________________ 3.已知三角形的三边之比为5∶12∶13，求证:此三角形为直角三角形. 4.已知： 求 的值. 5.已知 求 的值. 6.已知： （1） （2） 的取值范围. 7.已知： （1） （2） 的取值范围. 8. 已知 求 的值. 9. 已知 ，化简： . 10. 已知 ，求 的值. 11.计算： 12.化简下列各式 （1） （2） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ $$ 专题02 数和式的运算之比例、齐次式与二次根式 一、知识点精讲 （一）比例与齐次式 我们在式的运算中,常常会碰到比例关系或齐次等式、齐次分式,这就要求我们掌握比例关系具有哪些性质和它的一般转化方向;齐次式常常会同除以某一个数,转化过程在本质上起到消元作用,从而会出现整体思想. 二、典例精析 【典例1】已知三角形的三边长之比为3∶4∶5.求证:此三角形为直角三角形. 【答案】见解析 【解析】证明： 设三角形的三边分别为 a , b , c , ∵ a ∶ b∶ c =3∶4∶5 ,设 a =3k , b =4k , c =5k , k >0 , EMBED Equation.DSMT4 此三角形为直角三角形。 【典例2】 已知△ABC 中,有 ,求证： 【答案】见解析 【解析】由图 【典例3】已知 求证：（1） （2） （3） 【答案】见解析 【解析】 （1） （2） （3）设 ，则 ，∴ 【典例4】已知： ,且 ，求 【答案】见解析 【解析】 EMBED Equation.DSMT4 【典例5】已知： ，求 的值. 【答案】见解析 【解析】设 则 ∴ 【典例6】已知 （1）求 的值 （2）求证： 【答案】见解析 【解析】 （1） （2） （二）二次根式 　　一般地，形如 的代数式叫做二次根式．根号下含有字母、且不能够开得尽方的式子称为无理式. 例如 ， 等是无理式，而 ， ， 等是有理式． 1．分母（子）有理化 把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化．为了进行分母（子）有理化，需要引入有理化因式的概念．两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，例如 与 ， 与 ， 与 ， 与 ，等等． 一般地， 与 ， 与 ， 与 互为有理化因式． 分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和