2019年天津卷理数高考真题解析（精编版）

2019年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷） 数学（理工类） 第Ⅰ卷 注意事项： 1.每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。 2.本卷共8小题。 参考公式： ·如果事件、互斥，那么. ·如果事件、相互独立，那么. ·圆柱的体积公式，其中表示圆柱的底面面积，表示圆柱的高. ·棱锥的体积公式，其中表示棱锥的底面面积，表示棱锥的高. 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合， ， ，则 A. {2} B. {2，3} C. {-1，2，3} D. {1，2，3，4} 2. 设变量满足约束条件，则目标函数的最大值为 A. 2 B. 3 C. 5 D. 6 3. 设，则“”是“”的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 阅读下边的程序框图，运行相应的程序，输出的值为 A. 5 B. 8 C. 24 D. 29 5. 已知抛物线的焦点为，准线为.若与双曲线的两条渐近线分别交于点A和点B，且（为原点），则双曲线的离心率为 A. B. C. 2 D. 6. 已知，，，则的大小关系为 A. B. C. D. 7. 已知函数是奇函数，将的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像对应的函数为.若的最小正周期为，且，则 A. B. C. D. 8. 已知，设函数若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围为 A. B. C. D. 第Ⅱ卷 二.填空题：本大题共6小题. 9. 是虚数单位，则的值为__________. 10. 展开式中的常数项为________. 11. 已知四棱锥的底面是边长为的正方形，侧棱长均为.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为__________. 12. 设，直线和圆（为参数）相切，则的值为____. 13. 设，则最小值为______. 14. 在四边形中，， ， ， ，点在线段的延长线上，且，则__________. 三.解答题.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 在中，内角所对的边分别为.已知，. （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）求的值. 16. 设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为.假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立. （Ⅰ）用表示甲同学上学期间三天中7：30之前到校的天数，求随机变量的分布列和数学期望； （Ⅱ）设为事件“上学期间的三天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的天数恰好多2”，求事件发生的概率. 17. 如图，平面，，. （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）求直线与平面所成角正弦值； （Ⅲ）若二面角余弦值为，求线段的长. 18. 设椭圆的左焦点为，上顶点为.已知椭圆的短轴长为4，离心率为. （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）设点在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点为直线与轴的交点，点在轴的负半轴上.若（为原点），且，求直线的斜率. 19. 设是等差数列，是等比数列.已知. （Ⅰ）求和通项公式； （Ⅱ）设数列满足其中. （i）求数列的通项公式； （ii）求. 20. 设函数为的导函数. （Ⅰ）求的单调区间； （Ⅱ）当时，证明； （Ⅲ）设为函数在区间内的零点，其中，证明. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2019年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷） 数学（理工类） 第Ⅰ卷 注意事项： 1.每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。 2.本卷共8小题。 参考公式： ·如果事件、互斥，那么. ·如果事件、相互独立，那么. ·圆柱的体积公式，其中表示圆柱的底面面积，表示圆柱的高. ·棱锥的体积公式，其中表示棱锥的底面面积，表示棱锥的高. 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合， ， ，则 A. {2} B. {2，3} C. {-1，2，3} D. {1，2，3，4} 【答案】D 【解析】 【分析】先求，再求． 【详解】因为， 所以. 故选D． 【点睛】集合的运算问题，一般要先研究集合中元素的构成，能化简的要先化简，同时注意数形结合，即借助数轴、坐标系、韦恩图等进行运算． 2. 设变量满足约束条件，则目标函数的最大值为 A. 2 B. 3 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】画出可行域，用截距模型求最值． 【详解】已知不等式组表示的平面区域如图中的阴影部分． 目标函数的几何意义是直线在轴上的截距， 故目标函数在点处取得