专题08 指数与指数函数、幂函数-名师揭秘2020年高考数学（理）一轮总复习之集合函数导数

专题08指数与指数函数、幂函数 一．本专题特别注意： 1.指数幂运算陷阱； 2.指数函数与幂函数定义陷阱； 3.隐含条件陷阱； 4.数形结合和陷阱； 5．参数讨论陷阱； 6.根据指数函数图象判断底数大小判断 7.比较大小时指数函数与幂函数的选取 二．【学习目标】 1．了解指数幂的概念、掌握有理数指数幂的运算性质． 2．掌握指数函数的概念、图象和性质及其应用． 3．了解幂函数的概念，结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝ 的图象和性质解决有关问题． 三．【知识要点】 1．根式 (1)概念：如果一个数的n次方等于a(n>1且n∈N*)，那么这个数就叫做a的n次方根，即若xn＝a(n>1，n∈N*)，则x＝．式子叫做根式，n叫根指数，a叫被开方数． (2)根式的性质： ①a的n(n>1，n∈N*)次方根，当n为奇数时，有一个n次方根为；当n为偶数时，若a>0，有两个互为相反数的n次方根为，若a＝0，其n次方根为_0，若a<0，则无实数根． ②当n为奇数时，＝a； 当n为偶数时，＝|a|＝． 2．指数幂的概念 (1)正整数指数幂：an＝________________ (n∈N*)． (2)零指数幂：a0＝1(a≠0)． (3)负指数幂：a－b＝ (a≠0)． (4)正分数指数幂根式：a＝ (a>0，m，n∈N*，n>1)． (5)负分数指数幂：＝(a>0，m，n∈N*，n>1)． ＝ 3．有理指数幂的运算性质(注意逆用) (1)ar·as＝ (r，s∈Q，a>0)． (2)ar÷as＝ (r，s∈Q，a>0)． (3)(ar)s＝ (r，s∈Q，a>0)． (4)(ab)r＝ (r∈Q，a>0，b>0)． ．指数函数的概念、图象和性质 定义 形如y＝ax(a>0且a≠1)的函数叫指数函数 图象 性质 (1)定义域：________ (2)值域：_______________ (3)过点____________，即x＝0时，y＝1 (4)在R上是________ 在R上是________ (5)x>0时，________ x<0时，________ x>0时，________ x<0时，________ 5．幂函数 (1)一般地，形如的函数叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数． (2)在同一平面直角坐标系中，幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x，y＝x－1的图象的比较如下． 熟记α＝1，2，3，，－1时幂函数的图象是解决有关幂函数问题的基础． (3)幂函数的性质 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x y＝x－1 定义域 R R R ________ {x|x∈R且x≠0} 值域 R [0，＋∞) R [0，＋∞) {y|y∈R且y≠0} 奇偶性 奇 偶 奇 _________ 奇 单调性 增 x∈[0，＋∞)时，增；x∈(－∞，0]时，减 增 增 x∈(0，＋∞)时，减；x∈(－∞，0)时，减 定点 (1，1) 四．【题型方法和规律】 （一）利用指数函数和幂函数性质比较大小 例1. ．若，；，则实数，，的大小关系为（ ） A． B． C． D． 练习1. 已知点在幂函数的图象上，设 则的大小关系为（ ） A． B． C． D． 练习2. 已知点在幂函数图像上，设，，，则、、的大小关系为（ ） A． B． C． D． （二）幂函数与指数函数的概念及定点问题 例2. 已知函数 ，则的图象过定点（ ） A． B． C． D． 练习1. ．已知函数且恒过定点则_________． 练习2.已知幂函数的图象经过点，则不等式的解集为_______. （三）与指数函数幂函数有关的复合函数 例3. 函数的单调递减区间为（　　） A． B． C． D． 练习1.函数的单调递增区间为（ ） A． B． C． D． 练习2.若函数是偶函数，则的单调递增区间是　　 A． B． C． D． （四）指数函数与幂函数的图像问题 例4. 函数的图像是（ ） A． B． C． D． 练习1.在同一直角坐标系中，与的图像可能是（　　） A． B． C． D． 练习2. 函数（且）与函数在同一个坐标系内的图象可能是( ) A． B． C． D． 练习3．幂函数y=xα,当α取不同的正数时,在区间[0,1]上它们的图像是一族美丽的曲线(如图).设点A(1,0),B(0,1),连接AB,线段AB恰好被其中的两个幂函数y=xα,y=xβ的图像三等分,即有BM=MN=NA,那么,αβ等于_____.  （五）求函数的解析式 例5. 已知是定义在R上