2019年4月刊【涵盖内容：函数与导数 推理与证明】-《中学生数理化》高中版·高二数学

推理与证明问题突破方法 ■河南省罗山高级中学 程传敏 一、推理有门路 与图形有关的推理是合情推理中非常重 要的内容。对于这类题型,我们可以从多个 角度进行分析。 例如观察几组图形的变化规 律、几组图形的数字规律、每个图形的结构 等。 例1 分形几何学是数学家伯努瓦· 曼德尔布罗在20世纪70年代创立的一门新 的数学学科,它的创立为解决传统科学众多 领域的难题提供了全新的思路。按照如图1 所示的分形规律可得如图2所示的一个树形 图。若记图2中的第n 行黑圈的个数为an, 则a2 019= 。 图1 图2 【理解题意】由图1所示的分形规律,可 知1个白圈分形为2个白圈1个黑圈,1个黑 圈分形为1个白圈2个黑圈。 解法一:若某行白圈x 个,黑圈y 个,此 行记为(x,y)。 则第1行记为(1,0),第2行记为(2,1), 第3行记为(5,4),第4行的白圈数为2×5+ 4=14,黑圈数为5+2×4=13,所以第4行的 “坐标”为(14,13),同理可得第5行的“坐标” 为(41,40),第6行的“坐标”为(122,121), …。各行黑圈数乘2,分别是0,2,8,26,80, …即1-1,3-1,9-1,27-1,81-1,…,所 以可以归纳出第n 行黑圈数an= 3n-1-1 2 (n∈N*),所以a2 019= 32 018-1 2 。 解法二:根据分形规律可知,每行黑圈与 白圈总数为1,3,9,27,…,即和为3n-1。另外 每 行 白 圈 比 黑 圈 多 1 个,故 黑 圈 个 数 为 3n-1-1 2 ,故a2 019= 32 018-1 2 。 点评:本题考查了归纳推理的应用,多观 察几组数据是发现规律的有效方法。解法一 从黑圈个数的数字规律入手归纳第n 行黑圈 数;解法二注意到每行黑圈和白圈的总个数, 还注意到白圈比黑圈多1个。 变式1 某种平面分形图如图3所示,一 级分形图是由一点出发的三条线段,长度均 为1,两两夹角为120°;二级分形图是在一级 分形图的每条线段的末端出发再生成两条长 度为原来 1 3 的线段,且这两条线段与原线段 两两夹角为120°,…,依此规律得到n级分形 图。 一级分形图 二级分形图 三级分形图 图3 则n级分形图中共有 条线段。 解法一:显然当n=1时有3条线段; 当n=2时,3条线段的另一端各增加2 条线段,所以新增3×2条,故此时共有3+ 3×2条线段; 当n=3时,在n=2时新增的线段的另 一端各增加2条线段,所以新增线段(3×2) ×2条,故此时共有3+3×2+3×2×2=3(1 +2+22)条线段; …… 以此类推,每次都是在上一次的新增线 段的另一端各增加2条线段,所以推出n 级 分形图中有线段3×(1+2+22+…+2n-1) =3× 1×(1-2n) 1-2 =3 (2n-1)条。 解法二:直接看每个图形,每个节点出发 有3条线段,数节点即可,但是注意不要数重 复了。发现: 一级分形图有1×3=(21-1)×3条; 二级分形图有3×3=(22-1)×3条; 3 知识篇 知识结构与拓展 高二数学 2019年4月 三级分形图有7×3=(23-1)×3条; …… 以此类推,n 级分形图中有(2n-1)×3 条线段。 二、证明有方法 1.“你中有我,我中有你”的综合法与分 析法 实际证题过程中,综合法与分析法往往 是结合起来运用的。只是在构建命题的证明 路径时,有时分析法占主导地位,综合法伴随 其中;有时刚好相反,综合法占主导地位,而 分析法伴随其中。 例2 若a,b,c是不全相等的正数,求 证:lg a+b 2 +lg b+c 2 +lg c+a 2 >lg a+lg b +lg c。 证明:要证lg a+b 2 +lg b+c 2 +lg c+a 2 > lg a+lg b+lg c,只需证lg a+b 2 ·b+c 2 ·c+a 2 > lg(abc),即证 a+b 2 ·b+c 2 ·c+a 2 >abc 。 因为 a+b 2 ≥ ab>0 ,b+c 2 ≥ bc>0 , c+a 2 ≥ ca>0 ,且因为a,b,c 是不全相等 的正数,所以上述三式中的等号不全成立,从 而 a+b 2 ·b+c 2 ·c+a 2 >abc 。 因此,lg a+b 2 +lg b+c 2 +lg c+a 2 > lg a+lg b+lg c。 点评:此题解题过程中前半部分用的是 分析法,后半部分用的是综合法。当然这道 题还可以完全按照综合法的形式来证明,只 需要把上述证明过程倒过来加以整理即可, 在此不 再 赘 述。 不 管 采 用 分 析 法 还 是