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ZHONGDIAN NANDIAN
重点难点
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JICHU ZHISHI
基础知识
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重点难点
专题一 导数的几何意义的应用
1.函数y=f(x)在点x0处的导数f'(x0),就是曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率k,即k=tan α=f'(x0).
2.利用导数求曲线过点P(x0,y0)的切线方程时要注意首先判断点P是否在曲线上,若点P在曲线上,则切线斜率即为f'(x0),切线方程易得;若点P不是曲线上的点,则应首先设出切点Q(x1,y1),则切线斜率为f'(x1),再结合kPQ=f'(x1)以及y1=f(x1)进行求解.
【例1】 已知函数f(x)=+1,g(x)=aln x,若在x=处函数f(x)与g(x)的图象的切线平行,则实数a的值为( )
A. B.
C.1 D.4
解析:由题意可知f'(x)=,g'(x)=,由f'=g',得,
可得a=,经检验,a=满足题意.
答案:A
【例2】 已知直线y=x+1与曲线y=ln(x-a)相切,则实数a的值为( )
A.1 B.2
C.-1 D.-2
解析:设直线y=x+1与曲线y=ln(x-a)相切的切点为(x0,y0),
则y0=x0+1且y0=ln(x0-a).
又∵y'=,
∴y'=1,即x0-a=1,故x0=a+1,
所以a+1+1=ln(a+1-a),
解得a=-2.
答案:D
专题二 利用导数研究函数的单调性
1.求函数单调区间的步骤如下:
(1)确定f(x)的定义域;
(2)求导数f'(x);
(3)由f'(x)>0(或f'(x)<0)解出相应的x的范围.当f'(x)>0时,f(x)在相应区间上是增函数;当f'(x)<0时f(x)在相应区间上是减函数.
2.已知f(x)在区间I上单调递增(递减),等价于f'(x)≥0(≤0)在区间I上恒成立,由此可根据不等式恒成立求得函数解析式中所含参数的取值范围.
3.在利用导数的符号判断函数的单调性的解题过程中,只能