2019年高考数学（理）自由复习步步高系列 第八天 不等式选讲与极坐标参数方程

2019年高考备考之考前十天自主复习 第八天 不等式选讲与极坐标参数方程 【热点知识再梳理——胸有成竹】 热点一：不等式选讲 [1] |ax＋b|≤c(c>0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法． ①|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c； ②|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c． [2] 解含绝对值不等式的原则是去掉绝对值，转化为有理不等式再求解，一般有以下几种解法： ①公式法：利用|x|>a(或<a)(a>0)去绝对值； ②零点分段法：利用绝对值定义去绝对值； ③平方法：利用|f(x)|>|g(x)|⇔f2(x)>g2(x)去绝对值； ④几何法：利用绝对值的几何意义求解． ⑤|x－a|＋|x－b|≥c(c>0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型不等式的解法． 方法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想． 方法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想． 方法三：通过构造函数，利用函数的图像求解，体现了函数与方程的思想． [3]（1）证明含有绝对值的不等式，其思路主要有两条：一是恰当地运用|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|进行放缩，并注意不等号的传递性及等号成立的条件；二是把含有绝对值的不等式等价转化为不含有绝对值的不等式，再利用比较法、综合法及分析法等进行证明，其中去掉绝对值符号的常用方法是平方法． （2）含绝对值不等式的证法和技巧： ①含绝对值不等式的证明方法有：综合法、分析法、反证法、放缩法、三角代换法等． ②利用不等式的性质和含绝对值不等式的性质，放缩变换的方法是处理含绝对值不等式的常用方法之一． ③对于一般的含绝对值不等式不好入手，我们可采用分析法． ④对于不等式左右两边形式完全相同的，可联想函数性质，构造函数再用函数的单调性去证明． [4]解决含参数的绝对值不等式问题的两种方法 ①将参数分类讨论，将其转化为分段函数解决． ②借助于绝对值的几何意义，先求出相应式的最值或值域，然后再根据题目要求，求解参数的取值范围． [5]不等式恒成立问题的常见类型及其解法 ①分离参数法 运用“f(x)≤a⇔f(x)max≤a，f(x)≥a⇔f(x)min≥a”可解决恒成立中的参数范围问题． ②更换主元法 不少含参不等式恒成立问题，若直接从主元入手非常困难或不可能解决时，可转换思维角度，将主元与参数互换，常可得到简捷的解法． ③数形结合法 在研究曲线交点的恒成立问题时，若能数形结合，揭示问题所蕴含的几何背景，发挥形象思维与抽象思维各自的优势，可直观解决问题． 提醒：不等式的解集为R是指不等式恒成立问题，而不等式的解集为∅的对立面也是不等式恒成立问题，如f(x)>m的解集为∅，则f(x)≤m恒成立． 1．【江西省南昌市2019届高三二模】已知为正实数，函数. （1）求函数的最大值； （2）若函数的最大值为1，求的最小值. 2．【2018年衡水金卷调研卷】已知函数的最小值为（，，为正数）. （1）求的最小值； （2）求证：. 3．安徽省示范高中皖北协作区2019届3月】已知函数． （1）若关于的不等式的解集为，求的值； （2）若，不等式恒成立，求的取值范围． 4．【黑龙江省哈尔滨市第六中学2019届】已知函数，，且的解集为. （1）求的值； （2）若，，是正实数，且，求证：. 5．【安徽省江淮十校2017届三模】已知函数. （1）解不等式； （2）若不等式有解，求实数的取值范围. 6．【2017届内蒙古省百校联盟高三3月监测】已知函数. （Ⅰ）记函数，在下列坐标系中作出函数的图象，并根据图象求出函数的最小值； （Ⅱ）记不等式的解集为，若， ，且，求实数的取值范围. 7．【湖南省长郡中学2019届】已知函数. （1）当时，求的解集； （2）若的解集包含集合，求实数的取值范围. 热点二：极坐标参数方程 [6] 关于极坐标系 (1)极坐标系的四要素：①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位和它的正方向，四者缺一不可． (2)由极径的意义知ρ≥0，当极角θ的取值范围是[0，2π]时，平面上的点(除去极点)与极坐标(ρ，θ)(ρ≠0)建立一一对应关系，约定极点的极坐标是极径ρ＝0，极角可取任意角． (3)极坐标与直角坐标的重要区别：多值性． 欲求极坐标方程，一般先求直角坐标方程，再利用x＝ρcosθ，y＝ρsinθ转化为极坐标方程即可． [5]当构成试验的结果的区域为长度、面积、体积、弧长、夹角等时，应考虑使用几何概型求解． [7] 将曲线的参数方程化为普通方程的关键是消去其中的参数，此时要注意其中的x，y(它们都是参数的函数)的取值范围，即在消去参数的过程中一定要注意普通方程与参数方程的等价性．参数方程化普通方程常用的消参技巧有：代入消元、加减消元、平方后相加减消元、整体消元等． [8]直