2020版微点教程高三数学一轮复习点对点：第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 (共4份打包)

第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 第一节　平面向量的概念及其线性运算 2019考纲考题考情 1．向量的有关概念 名称 定义 备注 向量 既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或称模) 平面向量是自由向量 零向量 长度为零的向量，其方向是任意的 记作0 单位向量 长度等于1个单位的向量 非零向量a的单位向量为± 平行向量 方向相同或相反的非零向量 0与任一向量平行或共线 共线向量 方向相同或相反的非零向量，又叫做共线向量 相等向量 长度相等且方向相同的向量 两向量只有相等或不等，不能比较大小 相反向量 长度相等且方向相反的向量 0的相反向量为0 2.向量的线性运算 向量 运算 定义 法则 (或几何意义) 运算律 加法 求两个向量和的运算 三角形法则 平行四边形法则 (1)交换律： a＋b＝b＋a。 (2)结合律： (a＋b)＋c＝a＋(b＋c)。 减法 求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差 三角形法则 a－b＝a＋(－b) 数乘 求实数λ与向量a的积的运算 (1)|λa|＝|λ||a|； (2)当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0 λ(μa)＝(λμ)a； (λ＋μ)a＝λa＋μa； λ(a＋b)＝λa＋λb 3.共线向量定理 向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b＝λa。 1．若P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则＝(＋)。 2.＝λ＋μ(λ，μ为实数)，若点A，B，C共线，则λ＋μ＝1。 3．解决向量的概念问题要注意两点：一是不仅要考虑向量的大小，更重要的是要考虑向量的方向；二是考虑零向量是否也满足条件。要特别注意零向量的特殊性。 一、走进教材 1．(必修4P86例4改编)已知▱ABCD的对角线AC和BD相交于点O，且＝a，＝b，则＝________，＝________。(用a，b表示) 解析　如图，＝＝－＝b－a，＝－＝－－＝－a－b。 答案　b－a　－a－b 2．(必修4P118A组T2(3)改编)在平行四边形ABCD中，若|＋|＝|－|，则四边形ABCD的形状为________。 解析　如图，因为＋＝，－＝，所以||＝||。由对角线长相等的平行四边形是矩形可知，四边形ABCD是矩形。 答案　矩形 二、走近高考 3．(2018·全国卷Ⅰ)在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则＝(　　) A．－ B．－ C．＋ D．＋ 解析　如图所示，＝＋＝＋＝×(＋)＋(－)＝－，故选A。 解析：＝－＝－＝－××(＋)＝－，故选A。 答案　A 4．(2015·全国卷Ⅱ)设向量a，b不平行，向量λa＋b与a＋2b平行，则实数λ＝________。 解析　因为λa＋b与a＋2b平行，所以存在唯一实数t，使得λa＋b＝t(a＋2b)，所以解得λ＝t＝。 答案　 三、走出误区 微提醒：①对向量共线定理认识不准确；②向量线性运算不熟致错；③向量三角不等式认识不清致错。 5．对于非零向量a，b，“a＋b＝0”是“a∥b”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析　若a＋b＝0，则a＝－b，所以a∥b。若a∥b，则a＋b＝0不一定成立。故前者是后者的充分不必要条件。 答案　A 6．如图，已知＝，用，表示，则等于(　　) A．－ B．＋ C．－＋ D．－－ 解析　＝＋＝＋＝＋(－)＝－＋。故选C。 答案　C 7．已知向量a，b，若|a|＝2，|b|＝4，则|a－b|的取值范围为________。 解析　当a与b方向相同时，|a－b|＝2，当a与b方向相反时，|a－b|＝6，当a与b不共线时，2<|a－b|<6，所以|a－b|的取值范围为[2,6]。此题易忽视a与b方向相同和a与b方向相反两种情况。 答案　[2,6] 考点一 向量的有关概念 【例1】　给出下列四个命题： ①若|a|＝|b|，则a＝b； ②若A，B，C，D是不共线的四点，则“＝”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件； ③若a＝b，b＝c，则a＝c； ④a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b。 其中正确命题的序号是(　　) A．②③ B．①② C．③④ D．②④ 解析　①不正确。两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同。②正确。因为＝，所以||＝||且∥，又A，B，C，D是不共线的四点，所以四边形ABCD为平行四边形；反之，若四边形ABCD为平行四边形，则||＝||，∥且，方向相同，因此＝。③正确。因为a＝b，所以a，b的长度相等且方向相同，又b＝c，所以b，c的长度相等且方