2020版微点教程高三数学一轮复习点对点：第六章 不等式、推理与证明 (共6份打包)

第六章 不等式、推理与证明 第一节　不等关系与不等式 2019考纲考题考情 1．实数的大小顺序与运算性质的关系 (1)a＞b⇔a－b＞0； (2)a＝b⇔a－b＝0； (3)a＜b⇔a－b＜0。 2．不等式的性质 (1)对称性：a＞b⇔b＜a。(双向性) (2)传递性：a＞b，b＞c⇒a＞c。(单向性) (3)可加性：a＞b⇔a＋c＞b＋c。(双向性) (4)a＞b，c＞d⇒a＋c＞b＋d。(单向性) (5)可乘性：a＞b，c＞0⇒ac＞bc；a＞b，c＜0⇒ac＜bc。 (6)a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd。(单向性) (7)乘方法则：a＞b＞0⇒an＞bn(n∈N，n≥1)。(单向性) (8)开方法则：a＞b＞0⇒＞(n∈N，n≥2)。(单向性) (9)倒数性质：设ab＞0，则a＜b⇔＞。(双向性) 注意以下结论： 1．a>b，ab>0⇒<。 2．a<0<b⇒<。 3．a>b>0,0<c<d⇒>。 4．0<a<x<b或a<x<b<0⇒<<。 5．若a>b>0，m>0，则<；>(b－m>0)；>；<(b－m>0)。 一、走进教材 1．(必修5P74练习T3改编)若a，b都是实数，则“－>0”是“a2－b2>0”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析　－>0⇒>⇒a>b≥0⇒a2>b2，但由a2－b2>0 －>0。故选A。 答案　A 2．(必修5P75A组T2改编)________(填“>”“<”或“＝”)。 解析　分母有理化有＝＋2，＝＋，显然＋2<＋，所以<。 答案　< 二、走近高考 3．(2018·北京高考)能说明“若a>b，则<”为假命题的一组a，b的值依次为________。 解析　由题意知，当a＝1，b＝－1时，满足a>b，但是>，故答案可以为1，－1。(答案不唯一，满足a>0，b<0即可) 答案　1，－1(答案不唯一) 4．(2017·北京高考)某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件： (ⅰ)男学生人数多于女学生人数； (ⅱ)女学生人数多于教师人数； (ⅲ)教师人数的两倍多于男学生人数。 ①若教师人数为4，则女学生人数的最大值为________。 ②该小组人数的最小值为________。 解析　令男学生、女学生、教师人数分别为x，y，z，且2z>x>y>z，①若教师人数为4，则4<y<x<8，当x＝7时，y取得最大值6。②当z＝1时，1＝z<y<x<2，不满足条件；当z＝2时，2＝z<y<x<4，不满足条件；当z＝3时，3＝z<y<x<6，y＝4，x＝5，满足条件。所以该小组人数的最小值为3＋4＋5＝12。 答案　①6　②12 三、走出误区 微提醒：①乱用不等式的相乘性致错；②命题的必要性出错；③求范围乱用不等式的加法原理致错。 5．若a>b>0，c<d<0，则一定有(　　) A．－>0 B．－<0 C．> D．< 解析　因为c<d<0，所以0<－d<－c，又0<b<a，－bd<－ac，即bd>ac，又cd>0，>，即>。故选D。 答案　D 6．设a，b∈R，则“a>2且b>1”是“a＋b>3且ab>2”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析　若a>2且b>1，则由不等式的同向可加性可得a＋b>2＋1＝3，由不等式的同向同正可乘性可得ab>2×1＝2。即“a>2且b>1”是“a＋b>3且ab>2”的充分条件；反之，若“a＋b>3且ab>2”，则“a>2且b>1”不一定成立，如a＝6，b＝。所以“a>2且b>1”是“a＋b>3且ab>2”的充分不必要条件。故选A。 答案　A 7．若－<α<β<，则α－β的取值范围是________。 解析　由－<α<，－<－β<，α<β，得－π<α－β<0。 答案　(－π，0) 考点一 比较大小 【例1】　(1)已知实数a，b，c满足b＋c＝6－4a＋3a2，c－b＝4－4a＋a2，则a，b，c的大小关系是(　　) A．c≥b>a B．a>c≥b C．c>b>a D．a>c>b (2)若a＝，b＝，c＝，则(　　) A．a<b<c B．c<b<a C．c<a<b D．b<a<c 解析　(1)因为c－b＝4－4a＋a2＝(a－2)2≥0， 所以c≥b。 又b＋c＝6－4a＋3a2， 所以2b＝2＋2a2，b＝a2＋1， 所以b－a＝a2－a＋1＝2＋>0， 所以b>a，所以c≥b>a。 (2)易知a，b，c都是正数， ＝＝log8164<1，所以a>b； ＝＝log6251 024>1， 所以b>c。即c<b<a。 解析：对于函数y＝f(x)＝，y′＝， 易知当x>e时，函数f(x)单调递减。 因为e<