2020版微点教程高三数学一轮复习点对点：第二章 函数、导数及其应用 (共11份打包)

第十节　变化率与导数、导数的计算 2019考纲考题考情 1．导数的概念 (1)函数y＝f (x)在x＝x0处的导数 称函数y＝f (x)在x＝x0处的瞬时变化率＝ 为函数y＝f (x)在x＝x0处的导数，记作f ′(x0)或 y′X=x0，即f ′(x0)＝ ＝ 。 (2)导数的几何意义 函数f (x)在点x0处的导数f ′(x0)的几何意义是在曲线y＝f (x)上点P(x0，y0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)。相应地，切线方程为y－y0＝f ′(x0)·(x－x0)。 (3)函数f (x)的导函数 称函数f ′(x)＝ 为f (x)的导函数。 2．导数公式及运算法则 (1)基本初等函数的导数公式 原函数 导函数 f (x)＝c(c为常数) f ′(x)＝0 f (x)＝xn(n∈Q) f ′(x)＝nxn－1 f (x)＝sinx f ′(x)＝cosx f (x)＝cosx f ′(x)＝－sinx 续表 原函数 导函数 f (x)＝ax f ′(x)＝axlna f (x)＝ex f ′(x)＝ex f (x)＝logax f ′(x)＝ f (x)＝lnx f ′(x)＝ 　　(2)导数的运算法则 ①[f (x)±g(x)]′＝f ′(x)±g′(x)。 ②[f (x)·g(x)]′＝f ′(x)g(x)＋f (x)g′(x)。 ③′＝(g(x)≠0)。 1．求导常见易错点：①公式(xn)′＝nxn－1与(ax)′＝axlna相互混淆；②公式中“＋”“－”号记混，如出现如下错误：′＝，(cosx)′＝sinx。 2．f ′(x0)代表函数f (x)在x＝x0处的导数值；(f (x0))′是函数值f (x0)的导数，且(f (x0))′＝0。 3．曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个，而直线与二次曲线相切只有一个公共点。 4．函数y＝f (x)的导数f ′(x)反映了函数f (x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f ′(x)|反映了变化的快慢，|f ′(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”。 一、走进教材 1．(选修1－1P86B组T1改编)曲线y＝x3＋11在点P(1,12)处的切线与y轴交点的纵坐标是(　　) A．－9 B．－3 C．9 D．15 解析　因为y＝x3＋11，所以y′＝3x2，所以y′|x＝1＝3，所以曲线y＝x3＋11在点P(1,12)处的切线方程为y－12＝3(x－1)。令x＝0，得y＝9。故选C。 答案　C 2．(选修1－1P80B组T1改编)在高台跳水运动中，t s时运动员相对于水面的高度(单位：m)是h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10，则运动员的速度v＝_______m/s，加速度a＝________m/s2。 解析　v＝h′(t)＝－9.8t＋6.5，a＝v′(t)＝－9.8。 答案　－9.8t＋6.5　－9.8 二、走近高考 3．(2018·全国卷Ⅱ)曲线y＝2lnx在点(1,0)处的切线方程为________。 解析　由y＝f (x)＝2lnx，得f ′(x)＝，则曲线y＝2lnx在点(1,0)处的切线的斜率为k＝f ′(1)＝2，则所求切线方程为y－0＝2(x－1)，即y＝2x－2。 答案　y＝2x－2 4．(2017·全国卷Ⅰ)曲线y＝x2＋在点(1,2)处的切线方程为________。 解析　因为y′＝2x－，所以在点(1,2)处的切线方程的斜率为k＝y′|x＝1＝2×1－＝1，所以切线方程为y－2＝x－1，即y＝x＋1。 答案　y＝x＋1 三、走出误区 微提醒：①混淆平均变化率与导数的区别；②不用方程法解导数求值；③导数的运算法则运用不正确。 5．函数f (x)＝x2在区间[1,2]上的平均变化率为________，在x＝2处的导数为________。 解析　函数f (x)＝x2在区间[1,2]上的平均变化率为＝3。因为f ′(x)＝2x，所以f (x)在x＝2处的导数为2×2＝4。 答案　3　4 6．已知f (x)＝x2＋3xf ′(2)，则f (2)＝________。 解析　因为f ′(x)＝2x＋3f ′(2)，令x＝2，得f ′(2)＝－2，所以f (x)＝x2－6x，所以f (2)＝－8。 答案　－8 7．已知f (x)＝x3，则f ′(2x＋3)＝________。 解析　f ′(x)＝3x2，所以f ′(2x＋3)＝3(2x＋3)2。 答案　3(2x＋3)2 考点一 　导数的运算微点小专题　　　　　　　　　 方向1：已知函数解析式求函数的导数 【例1】　求下列各函数的导数： (1)y＝x；(2)y＝tanx； (3)y＝2sin2－1。 解　(1)