专题10 极坐标与参数方程，不等式选讲-2019年高考数学备考冲刺之回归教材集训

专题10 极坐标与参数方程，不等式选讲 【必备知识点】 坐标系与参数方程 1、平面直角坐标系中的伸缩变换 设点 是平面直角坐标系中的任意一点，在变换 的作用下，点 对应到点 ，称 为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换。 2、极坐标系的概念 在平面内取一个定点 ，叫做极点；自极点 引一条射线 叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系。 点 的极坐标：设 是平面内一点，极点 与点 的距离 叫做点 的极径，记为 ；以极轴 为始边，射线 为终边的 叫做点 的极角，记为 。有序数对 叫做点 的极坐标，记为 . 注： 极坐标 与 表示同一个点。极点 的坐标为 . 若 ,则 ,规定点 与点 关于极点对称，即 与 表示同一点。 如果规定 ，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标 表示（即一一对应的关系）；同时，极坐标 表示的点也是唯一确定的。 极坐标与直角坐标都是一对有序实数确定平面上一个点，在极坐标系下，一对有序实数 、 对应惟一点P( ， )，但平面内任一个点P的极坐标不惟一．一个点可以有无数个坐标，这些坐标又有规律可循的，P( ， )（极点除外）的全部坐标为( , ＋ )或（ ， ＋ ），( Z)．极点的极径为0，而极角任意取．若对 、 的取值范围加以限制．则除极点外，平面上点的极坐标就惟一了，如限定 >0，0≤ ＜ 或 <0， ＜ ≤ 等． 极坐标与直角坐标的不同是，直角坐标系中，点与坐标是一一对应的，而极坐标系中，点与坐标是一多对应的．即一个点的极坐标是不惟一的． 3、极坐标与直角坐标的互化 设 是平面内任意一点，它的直角坐标是 ，极坐标是 ，从图中可以得出： 4、简单曲线的极坐标方程 ⑴圆的极坐标方程 ①以极点为圆心， 为半径的圆的极坐标方程是 ；（如图1） ②以 EMBED Equation.3 为圆心， 为半径的圆的极坐标方程是 ；（如图2） ③以 EMBED Equation.3 为圆心， 为半径的圆的极坐标方程是 ；（如图4） ⑵直线的极坐标方程 ①过极点的直线的极坐标方程是 和 . （如图1） ②过点 ，且垂直于极轴的直线l的极坐标方程是 . 化为直角坐标方程为 .（如图2） ③过点 且平行于极轴的直线l的极坐标方程是 . 化为直角坐标方程为 .（如图4） 5、柱坐标系与球坐标系 ⑴柱坐标：空间点 的直角坐标 与柱坐标 的变换关系为： . ⑵球坐标系 空间点 直角坐标 与球坐标 的变换关系： . 6、参数方程的概念 在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标 都是某个变数 的函数 并且对于 的每一个允许值，由这个方程所确定的点 都在这条曲线上，那么这个方程就叫做这条曲线的参数方程，联系变数 的变数 叫做参变数，简称参数。 相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。 7、常见曲线的参数方程 （1）圆 的参数方程为 （ 为参数）； （2）椭圆 的参数方程为 （ 为参数）； 椭圆 的参数方程为 （ 为参数）； （3）双曲线 的参数方程 （ 为参数）； 双曲线 的参数方程 （ 为参数）； （4）抛物线 参数方程 为参数， ）； 参数 的几何意义：抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数. （6）过定点 、倾斜角为 的直线的参数方程 （ 为参数）. 8、参数方程与普通方程之间的互化 在建立曲线的参数方程时，要注明参数及参数的取值范围。在参数方程与普通方程的互化中，必须使 的取值范围保持一致. 参数方程化为普通方程的关键是消参数，并且要保证等价性。若不可避免地破坏了同解变形，则一定要通过。根据t的取值范围导出的取值范围. 含绝对值不等式的解法： ⑴定义法： ⑵平方法： ⑶同解变形法，其同解定理有： ① ② ③ ④ 规律：关键是去掉绝对值的符号. 2、含有两个（或两个以上）绝对值的不等式的解法： 规律：找零点、划区间、分段讨论去绝对值、每段中取交集，最后取各段的并集. 2、几个重要不等式 ① ,（当且仅当 时取 号）. 变形公式： ②（基本不等式） ,（当且仅当 时取到等号）. 变形公式： 用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最大），要注意满足三个条件“一正、二定、三相等”. ③（三个正数的算术—几何平均不等式） EMBED Equation.DSMT4 （当且仅当 时取到等号）. ④ （当且仅当 时取到等号）. ⑤ （当且仅当 时取到等号）. ⑥ （当仅当a=b时取等号） （当仅当a=b时取等号） ⑦ 其中 规律：小于1同加则变大，大于1同加则变小. ⑧ ⑨绝对值三角不等式 3、几个著名不等式 ①平均不等式： ,（当且仅当 时取 号）. （即调和平均