第01章 第02讲 单摆-【创新设计】2019版同步课堂讲义物理（教科版选修3-4）

第2讲　单摆 [目标定位]　1.知道什么是单摆.2.理解偏角很小时单摆的振动是简谐运动.3.知道单摆的周期跟什么因素有关，了解单摆的周期公式并能用它进行计算. [来源:Z,xx,k.Com] 一、单摆的简谐运动 1．如图1，若忽略悬挂小球的细线长度的微小变化和质量，且线长比球的直径大得多，这样的装置就叫做单摆． 图1 2．在偏角很小的情况下，单摆摆球所受的回复力与偏离平衡位置的位移成正比，因而单摆在偏角很小时的振动是简谐运动． 想一想　单摆的回复力是否就是单摆所受的合外力？ 答案　不是．单摆的运动可看作是变速圆周运动，其合力可分解为指向圆心的法向力和沿圆周切线的切向力，在沿圆周切线的切向力作用下，单摆做的是简谐运动，因而单摆的回复力只是其所受合力的一个分力． 二、单摆做简谐运动的周期 单摆在偏角很小的情况下做简谐运动的周期T跟摆长l的二次方根成正比，跟重力加速度g的二次方根成反比，跟振幅、摆球的质量无关，单摆做简谐运动时的周期公式为T＝2π. 一、单摆及单摆的回复力 1．单摆 (1)单摆是实际摆的理想化模型 (2)实际摆看作单摆的条件 ①摆线的形变量与摆线长度相比小得多 ②悬线的质量与摆球质量相比小得多 ③摆球的直径与摆线长度相比小得多 2．单摆的回复力 (1)单摆的回复力是由重力沿圆弧切向的分力F＝mgsin θ提供的． (2)如图2所示，在最大偏角很小的条件下，sin θ≈，其中x为摆球相对平衡位置O点的位移． 图2 单摆的回复力F＝－，则F＝－kx.由此可见，单摆在偏角很小的条件下的振动为简谐运动． x，令k＝ 注意：(1)单摆经过平衡位置时，回复力为零，但合外力不为零． (2)单摆的回复力为小球受到的沿切线方向的合力，而不是小球受到的合外力． 【例1】　对于单摆的振动，以下说法中正确的是(　　) A．单摆振动时，摆球受到的向心力大小处处相等 B．单摆运动的回复力就是摆球受到的合力 C．摆球经过平衡位置时所受回复力为零 D．摆球经过平衡位置时所受合外力为零 解析　单摆振动过程中受到重力和细线拉力的作用，把重力沿切向和径向分解，其切向分力提供回复力，细线拉力与重力的径向分力的合力提供向心力，向心力大小为，可见最大偏角处向心力为零，平衡位置处向心力最大，而回复力在最大偏角处最大，平衡位置处为零．故应选C． 答案　C 借题发挥　单摆振动的回复力是重力在切线方向的分力，或者说是摆球所受合外力在切线方向的分力．摆球所受的合外力在摆线方向的分力作为摆球做圆周运动的向心力，所以并不是合外力完全用来提供回复力．因此摆球经过平衡位置时，只是回复力为零，而不是合外力为零(此时合外力提供摆球做圆周运动的向心力)． 针对训练　关于单摆，下列说法中正确的是(　　) A．摆球受到的回复力方向总是指向平衡位置 B．摆球受到的回复力是它的合力 C．摆球经过平衡位置时，所受的合力为零 D．摆角很小时，摆球受的合力的大小跟摆球相对平衡位置的位移大小成正比 解析　单摆的回复力不是它的合力，而是重力沿圆弧切线方向的分力；当摆球运动到平衡位置时，回复力为零，但合力不为零，因为小球还有向心力，方向指向悬点(即指向圆心)；另外摆球所受的合力与位移大小不成正比，故A正确． 答案　A 二、单摆做简谐运动的周期 1．伽利略发现了单摆运动的等时性，惠更斯得出了单摆的周期公式并发明了摆钟． 2．单摆的周期公式：T＝2π. 3．对周期公式的理解 (1)单摆的周期公式在单摆偏角很小时成立(偏角为5°时，由周期公式算出的周期和精确值相差0.01%)． (2)公式中l是摆长，即悬点到摆球球心的距离l＝l线＋r球．如是双线摆，则公式中l应为等效摆长：如图3所示，图中甲、乙在垂直纸面方向摆起来的效果是相同的，所以甲摆的摆长为lsin α，这就是等效摆长，所以其周期为T＝2π. 图3 (3)公式中g是单摆所在地的重力加速度，由单摆所在的空间位置决定． (4)周期T只与l和g有关，与摆球质量m及振幅无关．所以单摆的周期也叫固有周期． 【例2】　在“探究单摆的周期和摆长的关系”实验中． (1)下列说法正确的是________． A．悬线越短越好 B．悬线上端固定且摆角要小 C．摆球应在竖直平面内摆动 D．摆球摆至最高点时开始计时 (2)以摆球通过平衡位置时开始计时，用停表记下摆球通过平衡位置n次所用的时间t，则单摆周期T＝____________；用米尺量出悬线的长度l0，用游标卡尺量出摆球的直径d，则摆长l＝____________. (3)根据记录的数据，在坐标纸上以T为纵轴，l为横轴，作出T(l图像，发现图线是曲线；然后尝试以T2为纵轴，l为横轴，作出T2(l图像，发现图线是一条过原点的倾斜直线，由此得出单摆做简谐运动的周期和摆长的关系是(　　) A．T∝ B．T2∝ C．T∝l D